CGWH 是 CG 的反射子范畴

说明

为什么取「最小的闭等价关系」。 要让商 $X/R$ 弱 Hausdorff，$R$ 得是 $k$-闭的（上一条）；而要商掉得尽量少、好让反射是「最经济」的改造，就取最小的那个闭等价关系。（$R \mapsto X/R$ 把关系越大商越小，方向别弄反。）

⭐ 这一条给出「怎么把一个空间修好」的完整链条：$k$-化（$X \mapsto kX$，变成 $\mathrm{CG}$）$\mapsto$ 商最小闭等价关系（$kX \mapsto kX/R$，变成 $\mathrm{CGWH}$）。两步都是函子性的，所以 $\mathrm{CGWH}$ 里的同构、极限、余极限都能从 $\mathbf{Top}$ 里搬过来。

⭐ 这就是为什么现代代数拓扑默认在 $\mathrm{CGWH}$ 里做事：$\mathrm{CGWH}$ 对有限积封闭、函数空间 $kC(X,Y)$ 还在里面、且是笛卡尔闭的 —— 而 $\mathbf{Top}$ 一个都不满足。

证明。 记 $R$ 为 $X$ 上所有 $k$-闭等价关系的交（$X$ 紧生成时 $k$-闭 = 闭，所以这就是「最小闭等价关系」；等价关系的交仍是等价关系 ✓），令 $\eta_{X} : X \to X/R$ 为商映射。

• $X/R \in \mathrm{CGWH}$：$X/R$ 紧生成（商的紧生成）✓；而 $R$ $k$-闭 $\implies$ $X/R$ 弱 Hausdorff（上一条）✓。
• 反射的泛性质：设 $Y \in \mathrm{CGWH}$、$f : X \to Y$ 连续。则

是 $X$ 上的等价关系；由 $\Delta_{Y}$ $k$-闭（$Y$ 弱 Hausdorff）与「$k$-闭沿连续映射拉回仍 $k$-闭」得 $R_{f}$ $k$-闭。于是 $R \subseteq R_{f}$（$R$ 是交），所以 $f$ 在 $R$ 的每个类上取常值，从而唯一地穿过商：$\exists!\, \bar f : X/R \to Y$ 使 $\bar f\circ\eta_{X} = f$ ✓。

• $\mathrm{CGWH}$ 全忠实坐进 $\mathrm{CG}$：$Y$ 本身弱 Hausdorff 时 $\eta_{Y} : Y \to Y/R_{Y}$ 是同胚（$R_{Y}$ 是 $\Delta_{Y}$ 本身），于是反射在 $\mathrm{CGWH}$ 上的分量是恒等 ✓。

两条合起来就是「$\mathrm{CGWH}$ 是 $\mathrm{CG}$ 的反射子范畴，反射是 $X\mapsto X/R$」。∎ ⚠️ 方向：等价关系取得越大，商掉得越多、空间越粗。所以「最小」的闭等价关系给出「最经济」的弱 Hausdorff 化 —— 这也是为什么反射先 $k$-化（$X\rightsquigarrow kX$）、再商最小闭等价关系、两步都函子性。