紧开拓扑

紧开拓扑（Compact-Open Topology）

def.compact-open-topology · 拓扑 · 紧开拓扑 · 函数空间

又称紧开拓扑·compact-open topology·函数空间拓扑·W_{S,V}·Definition 2.3.5·Def 2.3.5

陈述

设 X,Y∈TopX, Y \in \mathbf{Top}。对每个连续映射 g:S→Xg : S \to X（SS 紧 Hausdorff）与每个开集 V⊆YV \subseteq Y，令

WS,V:={ f:X→Y  ∣  Im⁡(f∘g)⊆V }.W_{S,V} := \{\, f : X \to Y \;\mid\; \operatorname{Im}(f \circ g) \subseteq V \,\}.

C(X,Y)C(X, Y)（也就是 Hom⁡Top(X,Y)\operatorname{Hom}_{\mathbf{Top}}(X, Y)）上的紧开拓扑是由全体 WS,VW_{S,V} 生成的拓扑。

说明

读法：WS,VW_{S,V} 是「在所有从头进来的紧块上都落在 VV 里」的那些映射。gg 通过 SS 这个「测试块」把 XX 的局部控制住。

⭐ 这一条让 Hom⁡(X,Y)\operatorname{Hom}(X,Y) 本身成为一个拓扑空间 —— 于是可以谈「映射空间」，才可以谈同伦、道路空间、环路空间。在 CGWH\mathrm{CGWH} 里它才真正好用（见「函数空间弱 Hausdorff」那条）。

它指向谁（出边）

定义引用 5

谁指向它（入边）

定义引用 3

参考

常见问法 1 条

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