连续continuous

连续（Continuity）

def.continuous · 定义 · 极限 · 连续

又称连续·continuous·连续函数

陈述

$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 在 $x_0$ 连续，当且仅当

\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0 : |x - x_0| < \delta \implies |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon

等价说法： $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$ （极限存在且等于函数值）。

$f$ 连续（在 $\mathbb{R}$ 上连续）当且仅当它在每一点连续。

一致连续是更强的要求： $\delta$ 只依赖 $\varepsilon$ ，不依赖 $x_0$ 。

⭐ 把 $|x - x_0| < \delta$ 、 $|f(x) - f(x_0)| < \varepsilon$ 换成距离 $d$ ，这个定义原封不动地搬到距离空间 —— 这也正是距离空间的定义为什么长成那样。

⚠ 连续 $\ne$ 一致连续： $f(x) = x^2$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续但不一致连续（ $x$ 越大需要的 $\delta$ 越小）。紧区间上两者才重合。

导数用到本页定义引用

可导 $\implies$ 连续：这一点由导数的定义直接推出来。
连续 ⟹ Borel 可测用到本页定义引用

「连续 $\implies$ Borel 可测」要把连续的 $\varepsilon$ - $\delta$ 定义翻译成开集的原像。
紧开拓扑用到本页定义引用

定义里要求 $g$ 与 $f$ 都连续。
Urysohn 引理用到本页定义引用

引理的结论是一个连续函数 $f : X \to [0,1]$ 。

数列极限 → 本页定义引用

连续的定义就是「 $x \to x_0$ 时 $f(x) \to f(x_0)$ 」——极限的语言。
拓扑空间与开集 → 本页定义引用

$\varepsilon$ - $\delta$ 那套是拓扑版连续在实数（或距离空间）上的展开形式：开球就是 $\varepsilon$ 邻域。