扩充实数 [−∞,+∞]

扩充实数系 R‾\overline{\mathbb{R}}（Extended Reals）

def.extended-real · 定义 · 实数

又称扩充实数·extended real·广义实数

陈述

在 R\mathbb{R} 上添两个记号 +∞+\infty、−∞-\infty，得到扩充实数系

R‾:=R∪{−∞,+∞}\overline{\mathbb{R}} := \mathbb{R} \cup \{ -\infty, +\infty \}

规定 −∞<x<+∞-\infty < x < +\infty 对一切 x∈Rx \in \mathbb{R} 成立，于是 R‾\overline{\mathbb{R}} 仍是全序集；并约定

x+(±∞)=±∞,0⋅(±∞)=0x + (\pm\infty) = \pm\infty, \qquad 0 \cdot (\pm\infty) = 0

而 ∞−∞\infty - \infty 与 ∞/∞\infty / \infty 不定义。

说明

为什么需要它：测度、积分的取值天然可以是 ∞\infty（R\mathbb{R} 的 Lebesgue 测度就是 ∞\infty），把所有量都放进 R‾\overline{\mathbb{R}}，收敛定理（sup、极限）就不必反复讨论「值是不是有限」。

⚠ 约定 0⋅∞=00 \cdot \infty = 0 是刻意的：它让「在无穷测度集上取 00 的函数」积分为 00。 ⚠ 它不是域：∞\infty 没有加法逆元。

它指向谁（出边）

定义引用 4

谁指向它（入边）

定义引用 1

参考

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