共轭指数

共轭指数（Conjugate Exponents）

定义
依赖深度 layer 14
分析学
L^p 空间

def.conjugate-exponents · 定义 · 共轭 · 对偶

又称共轭指数·conjugate exponents·对偶指数

陈述

设 $1 \le p \le \infty$ 。称 $q$ 是 $p$ 的共轭指数，当且仅当

\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1

（约定 $1/\infty = 0$ ，于是 $p = 1$ 对应 $q = \infty$ ， $p = \infty$ 对应 $q = 1$ 。）

说明

由对称性 $\dfrac{1}{q} + \dfrac{1}{p} = 1$ ，所以「共轭」是相互的： $p$ 与 $q$ 互为共轭。

$p = 2$ 时 $q = 2$ ： $L^2$ 是自共轭的 —— 这是 Hilbert 空间理论的起点。

⭐ 共轭指数的意义：Hölder 不等式说 $L^p$ 与 $L^q$ 之间有一对「配对」 $\int fg$ ；而下面的对偶定理说这个配对恰好就是 $L^p$ 的整个对偶空间。

它指向谁（出边）

定义引用 5

Hölder 不等式用到本页定义引用

陈述里那个 $1/p + 1/q = 1$ 就是共轭指数的定义。
‖g‖_q = ‖φ_g‖ 用到本页定义引用

前提是 $p$ 、 $q$ 共轭。
(L^p)* ≅ L^q 用到本页定义引用

结论那句话里「 $q$ 是共轭指数」。
Young 不等式用到本页定义引用

把 $\lambda$ 取成 $1/p$ ，则 $\lambda$ 与 $1 - \lambda$ 正是一对共轭指数——Young 不等式是 Hölder 的算术底座。
对偶配对 φ_g 用到本页定义引用

「设 $p, q$ 共轭， $g \in L^q$ 」——共轭指数是这条定义的前提。

谁指向它（入边）

定义引用 1

扩充实数 [−∞,+∞] → 本页定义引用

共轭指数里 $p = \infty$ 要配 $q = 1$ ，约定 $1/\infty = 0$ —— 用到了扩充实数。

参考

Folland, Real Analysis, §6.2

常见问法 2 条

Lp 的对偶空间是什么也看 (L^p)* ≅ L^q、对偶配对 φ_g
Hölder 不等式怎么用也看 Hölder 不等式、Young 不等式

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