L^p 范数Lp norm

$L^p$ 范数与 $L^p$ 空间

def.lp-norm · 定义 · Lp · 范数

又称Lp 范数·Lp norm·L^p 空间

陈述

固定测度空间 $(X, \mathcal{M}, \mu)$ 。对可测 $f$ 与 $0 < p < \infty$ 定义

\|f\|_p := \left[ \int |f|^p \, d\mu \right]^{1/p}

以及

L^p(X, \mathcal{M}, \mu) := \{\, f : X \to \mathbb{C} : f \text{ 可测},\ \|f\|_p < \infty \,\}

基本事实（都可直接验证）：

⚠ $p < 1$ 时三角不等式失效，所以那时 $L^p$ 只是拟范数空间（虽然它仍然是完备的）。

和 $L^1$ 一样， $L^p$ 的元素其实是函数的等价类（a.e. 相等视为同一个），这正是 $\|f\|_p = 0 \implies f = 0$ 得以成立的前提。

Hölder 不等式用到本页定义引用

Hölder 不等式两边都是 L^p 范数。
Minkowski 不等式用到本页定义引用

Minkowski 就是 L^p 范数的三角不等式。
L^p 是 Banach 空间用到本页定义引用

完备性是相对这个范数说的。
L^p 自反用到本页定义引用

自反性谈的是 L^p 与它的二次对偶。
紧支简单函数稠密用到本页定义引用

「稠密」是在 $L^p$ 里说的，要用 $\|\cdot\|_p$ 。
L^q 落在 L^p + L^r 里用到本页定义引用

$L^q \subseteq L^p + L^r$ 里的三个空间都是 $L^p$ 型的。
L^p ∩ L^r ⊆ L^q 用到本页定义引用

插值不等式 $\|f\|_q \le \|f\|_p^{\lambda} \|f\|_r^{1-\lambda}$ 全是 $\|\cdot\|_p$ 型的量。
ℓ^p ⊆ ℓ^q 用到本页定义引用

$\ell^p$ 就是计数测度下的 $L^p$ ，范数还是 $\|\cdot\|_p$ 。
有限测度时方向反过来用到本页定义引用

结论 $L^q(\mu) \subseteq L^p(\mu)$ 里的两个空间都是 $L^p$ 型的。
对偶配对 φ_g 用到本页定义引用

$\varphi_g$ 定义在 $L^p$ 上，有界性要靠范数 $\|f\|_p$ 来说。

复数 ℂ → 本页定义引用

$L^p$ 的元素取复值： $f : X \to \mathbb{C}$ 。
可测函数 → 本页定义引用

$L^p$ 的元素要求 $f$ 可测且 $\|f\|_p < \infty$ 。
测度 → 本页定义引用

$\|f\|_p$ 里的积分是对测度 $\mu$ 取的。
非负函数的积分 → 本页定义引用

$\|f\|_p = \left[ \int |f|^p \, d\mu \right]^{1/p}$ 用的是非负函数的积分。