L^p 是 Banach 空间Banach

定理（Riesz–Fischer）： $1 \le p < \infty$ 时 $L^p$ 完备

定理
依赖深度 layer 21
分析学
L^p 空间

thm.lp-banach · 定理 · Banach · Riesz–Fischer · 完备

又称Banach·巴拿赫空间·Lp 完备

陈述

设 $1 \le p < \infty$ 。则 $L^p(X, \mathcal{M}, \mu)$ 关于范数 $\|\cdot\|_p$ 是完备的，即它是一个 Banach 空间。

说明

证明用的判据是：赋范线性空间完备 $\iff$ 绝对收敛的无穷级数收敛。

设 $\{f_k\} \subseteq L^p$ 且 $\sum_{k} \|f_k\|_p = B < \infty$ 。只要证明 $\sum_k f_k$ 在 $L^p$ 范数下收敛即可。

技巧在于把「逐点收敛」与「范数收敛」分开处理：令 $G_n = \sum_{k \le n} |f_k|$ 、 $G = \sum_k |f_k|$ ，则由 MCT

\|G_n\|_p \le \sum_{k \le n} \|f_k\|_p \le B \quad \implies \quad \int G^p = \lim_n \int G_n^p \le B^p

故 $G \in L^p$ 、特别地 $G < \infty$ a.e.，于是 $\sum_k f_k$ a.e. 绝对收敛。记极限为 $F$ 。

再用一次 DCT 拿下范数收敛： $\left| F - \sum_{k \le n} f_k \right|^p \le (2G)^p \in L^1$ ，故

\left\| F - \sum_{k \le n} f_k \right\|_p^p = \int \left| F - \sum_{k \le n} f_k \right|^p \to 0

∎

谁指向它（入边）

推出 1

Minkowski 不等式、单调收敛定理、控制收敛定理 ⟹ 本页推出

三角不等式 + MCT + DCT $\implies$ $L^p$ 完备

① 换成级数。 赋范线性空间完备 $\iff$ 每个绝对收敛的级数都收敛（标准判据）。所以设 $\{f_k\} \subseteq L^p$ 且
$B := \sum_{k=1}^{\infty} \|f_k\|_p < \infty$
目标：证明 $\sum_k f_k$ 在 $L^p$ 范数下收敛。
② 先做逐点收敛。 令
$G_n := \sum_{k \le n} |f_k|, \qquad G := \sum_{k=1}^{\infty} |f_k|$
由 Minkowski（三角不等式）， $\|G_n\|_p \le \sum_{k \le n} \|f_k\|_p \le B$ ，即 $\int G_n^p \le B^p$ 。 $G_n \uparrow G$ ，由 MCT，
$\int G^p = \lim_n \int G_n^p \le B^p$
于是 $G \in L^p$ ，特别地 $G < \infty$ a.e.。这就说明 $\sum_k f_k(x)$ 对 a.e. $x$ 绝对收敛，记其和为 $F$ 。
③ 再做范数收敛。 部分和 $s_n := \sum_{k \le n} f_k$ 满足 $s_n \to F$ a.e.，且
$|F - s_n|^p \le \left( |F| + |s_n| \right)^p \le (2G)^p \in L^1$
（因为 $|F| \le G$ 、 $|s_n| \le G$ 。）由 DCT，
$\left\| F - s_n \right\|_p^p = \int |F - s_n|^p \to 0$
即 $s_n \to F$ 于 $L^p$ 。故绝对收敛级数都收敛， $L^p$ 完备。∎
$>$ ⭐ 这一段是「用逐点收敛的定理（MCT / DCT）去证范数收敛」的范例：控制函数 $G$ 就是关键桥梁。

定义引用 1

L^p 范数 → 本页定义引用

完备性是相对这个范数说的。

参考

Folland, Real Analysis, Theorem 6.6

常见问法 1 条

Lp 空间是不是完备的也看 L^p 范数

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