ℓ^p ⊆ ℓ^q

命题（只有衰减的场合）： $\ell^p \subseteq \ell^q$ （ $0 < p < q \le \infty$ ）

prop.ell-p-inclusion · 命题 · 序列空间 · 包含

又称小 l p 空间·序列空间包含·ℓp

陈述

设 $0 < p < q \le \infty$ ， $A$ 是任意指标集。则

\ell^p(A) \subseteq \ell^q(A), \qquad \|f\|_q \le \|f\|_p

这里 $\ell^p$ 是计数测度下的 $L^p$ —— 没有「局部爆破」可言，只剩「衰减」。

证明：先看 $q = \infty$ 。由 $|f|^p$ 的每一项都不超过总和，

\|f\|_\infty^p = \sup_{\alpha} |f(\alpha)|^p \le \sum_{\alpha} |f(\alpha)|^p = \|f\|_p^p

故 $\|f\|_\infty \le \|f\|_p$ 。一般 $q < \infty$ 用插值：

\|f\|_q \le \|f\|_p^{p/q} \|f\|_\infty^{1-p/q} \le \|f\|_p

（第二个不等号把 $\|f\|_\infty \le \|f\|_p$ 代进去。）∎

⭐ 方向记法：指数越大，空间越小（在 $\ell^p$ 里）—— 因为要求「衰减更快」。