Minkowski 不等式

它指向谁（出边）

推出 1

• 本页 ⟹ L^p 是 Banach 空间推出
  三角不等式 + MCT + DCT $\implies$ $L^p$ 完备

  ① 换成级数。 赋范线性空间完备 $\iff$ 每个绝对收敛的级数都收敛（标准判据）。所以设 $\{f_k\} \subseteq L^p$ 且

  $$B := \sum_{k=1}^{\infty} \|f_k\|_p < \infty$$

  目标：证明 $\sum_k f_k$ 在 $L^p$ 范数下收敛。

  ② 先做逐点收敛。 令

  $$G_n := \sum_{k \le n} |f_k|, \qquad G := \sum_{k=1}^{\infty} |f_k|$$

  由 Minkowski（三角不等式），$\|G_n\|_p \le \sum_{k \le n} \|f_k\|_p \le B$，即 $\int G_n^p \le B^p$。$G_n \uparrow G$，由 MCT，

  $$\int G^p = \lim_n \int G_n^p \le B^p$$

  于是 $G \in L^p$，特别地 $G < \infty$ a.e.。这就说明 $\sum_k f_k(x)$ 对 a.e. $x$ 绝对收敛，记其和为 $F$。

  ③ 再做范数收敛。 部分和 $s_n := \sum_{k \le n} f_k$ 满足 $s_n \to F$ a.e.，且

  $$|F - s_n|^p \le \left( |F| + |s_n| \right)^p \le (2G)^p \in L^1$$

  （因为 $|F| \le G$、$|s_n| \le G$。）由 DCT，

  $$\left\| F - s_n \right\|_p^p = \int |F - s_n|^p \to 0$$

  即 $s_n \to F$ 于 $L^p$。故绝对收敛级数都收敛，$L^p$ 完备。∎

  $>$ ⭐ 这一段是「用逐点收敛的定理（MCT / DCT）去证范数收敛」的范例：控制函数 $G$ 就是关键桥梁。

谁指向它（入边）

推出 1

• Hölder 不等式 ⟹ 本页推出
  Hölder 不等式 $\implies$ Minkowski 不等式

  ① 拆开。 对 $p > 1$，

  $$|f+g|^p = |f+g| \cdot |f+g|^{p-1} \le \left( |f| + |g| \right) |f+g|^{p-1}$$

  ② 两次 Hölder。 对 $|f| \cdot |f+g|^{p-1}$ 与 $|g| \cdot |f+g|^{p-1}$ 分别用 Hölder（指数 $p$ 与 $q$，其中 $1/p + 1/q = 1$）：

  $$\int |f+g|^p \le \left( \|f\|_p + \|g\|_p \right) \left( \int |f+g|^{(p-1)q} \right)^{1/q}$$

  ③ 认出右边的积分。 因为 $(p-1)q = p$，右边那个因子就是 $\|f+g\|_p^{\,p/q}$。于是

  $$\|f+g\|_p^p \le \left( \|f\|_p + \|g\|_p \right) \|f+g\|_p^{\,p/q}$$

  ④ 约掉。 若 $\|f+g\|_p = 0$ 结论平凡；否则两边除以 $\|f+g\|_p^{p/q}$，注意 $p - p/q = 1$，即得

  $$\|f+g\|_p \le \|f\|_p + \|g\|_p$$

  $p = 1$ 时直接由逐点不等式 $|f+g| \le |f| + |g|$ 积分得到。∎

  ⭐ 注意「约掉」那一步：正是 $1/p + 1/q = 1$ 保证 $p - p/q = 1$，否则会留下一个顽固的指数。

定义引用 1

• L^p 范数 → 本页定义引用

  Minkowski 就是 L^p 范数的三角不等式。