L^p ∩ L^r ⊆ L^q

命题（插值）： $L^p \cap L^r \subseteq L^q$

prop.lp-inter-lr-in-lq · 命题 · 插值 · Riesz–Thorin 初等版

又称Lp 交 Lr 包含于 Lq

陈述

设 $0 < p < q < r \le \infty$ 。若 $f \in L^p \cap L^r$ ，则 $f \in L^q$ ，且

\|f\|_q \le \|f\|_p^{\lambda} \, \|f\|_r^{1-\lambda}

其中 $\lambda \in (0,1)$ 由下式确定：

\frac{1}{q} = \frac{\lambda}{p} + \frac{1-\lambda}{r} \qquad \iff \qquad \lambda = \frac{\,q^{-1} - r^{-1}\,}{p^{-1} - r^{-1}}

这是 Riesz–Thorin 插值定理的初等特例： $L^q$ 范数被两端的 $L^p$ 、 $L^r$ 范数「对数凸」地控制住。

证明： $r = \infty$ 的情形最干净 —— 此时 $\lambda = p/q$ ，从 $|f|^q \le \|f\|_\infty^{\,q-p} |f|^p$ 出发，

\|f\|_q \le \|f\|_p^{p/q} \|f\|_\infty^{1-p/q} = \|f\|_p^{\lambda} \|f\|_\infty^{1-\lambda}

一般 $r < \infty$ 时对

|f|^q = |f|^{\lambda q} \cdot |f|^{(1-\lambda)q}

用 Hölder，指数取 $p/(\lambda q)$ 与 $r/((1-\lambda)q)$ （它们的倒数和恰好是 $1$ ，这正是 $\lambda$ 的定义），得到

\|f\|_q^q \le \left[ \int |f|^p \right]^{\lambda q/p} \left[ \int |f|^r \right]^{(1-\lambda)q/r} = \|f\|_p^{\lambda q} \|f\|_r^{(1-\lambda)q}

两边开 $q$ 次方即可。∎

L^p 范数 → 本页定义引用

插值不等式 $\|f\|_q \le \|f\|_p^{\lambda} \|f\|_r^{1-\lambda}$ 全是 $\|\cdot\|_p$ 型的量。
本性上界与 L^∞ → 本页定义引用

$r = \infty$ 那一端要把 $\|\cdot\|_r$ 读成本性上界。