紧支简单函数稠密dense

命题：紧支集简单函数在 $L^p$ 中稠密

prop.dense-simple-compact-support · 命题 · 稠密 · 简单函数

又称稠密·dense·简单函数稠密

陈述

设 $1 \le p < \infty$ 。紧支集的简单函数在 $L^p$ 中稠密（ $p = \infty$ 时不成立）。

证明：对 $f \in L^p$ ，取简单函数列 $\{f_n\}$ 使 $f_n \to f$ a.e. 且 $|f_n| \le |f|$ （简单函数逼近定理给的就是这个形状）。于是 $f_n \in L^p$ ，且

|f_n - f|^p \le 2^p |f|^p \in L^1

由 DCT 得 $\|f_n - f\|_p \to 0$ 。 $f_n$ 是简单函数、支撑集有限 —— 这就是要的稠密性。∎

⚠ $p = \infty$ 时这条失效： $L^\infty$ 里的简单函数是「有限个值」，均匀逼近一个连续函数办不到（例如 $\sin$ 型或一般的连续函数）。