Hölder 不等式

它指向谁（出边）

推出 2

• 本页 ⟹ Minkowski 不等式推出
  Hölder 不等式 $\implies$ Minkowski 不等式

  ① 拆开。 对 $p > 1$，

  $$|f+g|^p = |f+g| \cdot |f+g|^{p-1} \le \left( |f| + |g| \right) |f+g|^{p-1}$$

  ② 两次 Hölder。 对 $|f| \cdot |f+g|^{p-1}$ 与 $|g| \cdot |f+g|^{p-1}$ 分别用 Hölder（指数 $p$ 与 $q$，其中 $1/p + 1/q = 1$）：

  $$\int |f+g|^p \le \left( \|f\|_p + \|g\|_p \right) \left( \int |f+g|^{(p-1)q} \right)^{1/q}$$

  ③ 认出右边的积分。 因为 $(p-1)q = p$，右边那个因子就是 $\|f+g\|_p^{\,p/q}$。于是

  $$\|f+g\|_p^p \le \left( \|f\|_p + \|g\|_p \right) \|f+g\|_p^{\,p/q}$$

  ④ 约掉。 若 $\|f+g\|_p = 0$ 结论平凡；否则两边除以 $\|f+g\|_p^{p/q}$，注意 $p - p/q = 1$，即得

  $$\|f+g\|_p \le \|f\|_p + \|g\|_p$$

  $p = 1$ 时直接由逐点不等式 $|f+g| \le |f| + |g|$ 积分得到。∎

  ⭐ 注意「约掉」那一步：正是 $1/p + 1/q = 1$ 保证 $p - p/q = 1$，否则会留下一个顽固的指数。

• 本页 ⟹ 有界 ⟹ g ∈ L^q推出
  Hölder + 有界性 $\implies$ $g \in L^q$

  Step 1：有限支可测的 $f$ 也满足 $|\int fg| \le M_g(g)$。

  设 $f$ 有限支可测、$\|f\|_p = 1$。取有限支简单函数列 $\{f_n\} \to f$ a.e.，且 $|f_n| \le |f|$、$|f_n| \le \|f\|_\infty \chi_E$（$E$ 是 $f$ 的支集，有限测度）。由 DCT，

  $$\left| \int fg \right| = \lim_n \left| \int f_n g \right| \le M_g(g)$$

  Step 2：$q < \infty$。 不妨设 $g \ne 0$，且设 $\{g \ne 0\}$ $\sigma$有限（$\mu$ 半有限时这一点自动成立）。

  先说明必须有 $\mu(\{|g| > \varepsilon\}) < \infty$（对一切 $\varepsilon > 0$）：否则设 $E_\varepsilon = \{|g| > \varepsilon\}$ 测度无穷，对任意 $C$ 取 $B \subseteq E_\varepsilon$ 使 $C < \mu(B) < \infty$，令

  $$f = \mu(B)^{-1/q} \chi_B \operatorname{sgn} g, \qquad \|f\|_p = 1$$

  则 $\left| \int fg \right| = \mu(B)^{-1/q} \int_B |g| > \varepsilon \, \mu(B)^{1/p} > \varepsilon C^{1/p}$，令 $C \to \infty$ 就与 $M_g(g) < \infty$ 矛盾。

  于是可取 $\{E_n\} \uparrow \{g \ne 0\}$，$\mu(E_n) < \infty$；再取简单 $\varphi_n \to g$、$|\varphi_n| \le |g|$，令 $g_n := \varphi_n \chi_{E_n}$，则 $g_n \to g$、$|g_n| \le |g|$、且 $g_n$ 在 $E_n^c$ 外为零。令

  $$f_n := \frac{|g_n|^{q-1} \operatorname{sgn} g_n}{\|g_n\|_q^{\,q-1}}, \qquad \|f_n\|_p = 1$$

  则 $f_n$ 有限支，由 Step 1 可用。于是

  $$\|g\|_q \le \lim_n \|g_n\|_q = \lim_n \int f_n g_n \le \lim_n \int |f_n g| = \lim_n \int f_n g \le M_g(g)$$

  （第一个不等号由 Fatou，第二个是 $f_n g_n = |g_n|^q$，中间那个等号用的仍是符号 $\operatorname{sgn}$ 的消失。）故 $\|g\|_q \le M_g(g) < \infty$，$g \in L^q$；反向不等式 $M_g(g) \le \|g\|_q$ 由 Hölder。

  Step 3：$q = \infty$。 对 $\varepsilon > 0$ 令 $A = \{|g(x)| \ge M_\infty(g) + \varepsilon\}$。若 $\mu(A) > 0$，由半有限性或 $A \subseteq \{g \ne 0\}$ 的 $\sigma$有限性取 $B \subseteq A$、$0 < \mu(B) < \infty$，令 $f = \mu(B)^{-1} \chi_B \operatorname{sgn} g$，则 $\|f\|_1 = 1$ 而 $\int fg \ge M_\infty(g) + \varepsilon$ —— 矛盾。故 $\mu(A) = 0$，即 $\|g\|_\infty \le M_\infty(g)$；反方向由 Hölder。∎

谁指向它（入边）

推出 1

• Young 不等式 ⟹ 本页推出
  Young 不等式 $\implies$ Hölder 不等式

  ① 先设 $\|f\|_p = \|g\|_q = 1$。 在 Young 不等式里取

  $$a = |f(x)|^p, \qquad b = |g(x)|^q, \qquad \lambda = \frac{1}{p}, \qquad 1 - \lambda = \frac{1}{q}$$

  得逐点不等式

  $$|f(x)g(x)| \le \frac{|f(x)|^p}{p} + \frac{|g(x)|^q}{q}$$

  ② 积分。

  $$\int |fg| \le \frac{1}{p} \int |f|^p + \frac{1}{q} \int |g|^q = \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$$

  ③ 一般情形。 若 $\|f\|_p$、$\|g\|_q$ 都非零，把 $f / \|f\|_p$ 与 $g / \|g\|_q$ 代进去再用齐次性。若有一个为零，则 $fg = 0$ a.e.，两边都是 0。∎

  ④ 取等条件。 回看 ②：等号成立要求 ① 里每一步都取等，即 $a = b$ a.e.（Young 不等式的取等条件），也就是

  $$|f|^p = |g|^q \quad \text{a.e.}$$

  在归一化之后；还原到一般情形就是「$|f|^p$ 与 $|g|^q$ 成比例 a.e.」。

定义引用 2

• L^p 范数 → 本页定义引用

  Hölder 不等式两边都是 L^p 范数。

• 共轭指数 → 本页定义引用

  陈述里那个 $1/p + 1/q = 1$ 就是共轭指数的定义。