有界 ⟹ g ∈ L^q

它指向谁（出边）

推出 1

• 本页 ⟹ (L^p)* ≅ L^q推出
  把泛函变成测度 $\implies$ $(L^p)^* \cong L^q$

  设 $1 < p < \infty$、$\Phi \in (L^p)^*$。

  Step 1：先设 $\mu$ 有限。 此时所有简单函数都在 $L^p$ 里。定义

  $$\nu(E) := \Phi(\chi_E) \qquad (E \in \mathcal{M})$$

  ① $\nu$ 是复测度。 设 $E = \bigsqcup_j E_j$，则 $\chi_E = \sum_{j} \chi_{E_j}$。而

  $$\left\| \chi_E - \sum_{j \le n} \chi_{E_j} \right\|_p = \left\| \sum_{j > n} \chi_{E_j} \right\|_p = \mu\left( \bigsqcup_{j>n} E_j \right)^{1/p} \to 0$$

  由 $\Phi$ 的连续性，$\nu(E) = \sum_j \nu(E_j)$ —— 正是复测度的定义。

  ② $\nu \ll \mu$。 若 $\mu(E) = 0$，则 $\chi_E = 0$ 于 $L^p$，故 $\nu(E) = 0$。

  ③ 用 Radon–Nikodym。 存在 $g \in L^1(\mu)$ 使 $\nu(E) = \int_E g \, d\mu$，即

  $$\Phi(\chi_E) = \int \chi_E g \, d\mu$$

  对一切简单函数 $f$ 就有 $\Phi(f) = \int fg \, d\mu$（线性）。

  ④ 把 $g$ 提升到 $L^q$。 由 $\left| \int fg \right| = |\Phi(f)| \le \|\Phi\| \, \|f\|_p$，有界泛函那条命题给出 $g \in L^q$ 且 $\|g\|_q \le \|\Phi\|$。再由稠密性（简单函数在 $L^p$ 稠密、$\Phi$ 连续）得 $\Phi(f) = \int fg$ 对一切 $f \in L^p$ 成立。

  Step 2：$\mu$ $\sigma$有限。 取 $\{E_n\} \uparrow$、$0 < \mu(E_n) < \infty$、$X = \bigcup_n E_n$，并把 $L^p(E_n)$ 等同于「在 $E_n$ 外为零的 $L^p(X)$ 函数」。对每个 $n$ 用 Step 1 得 $g_n \in L^q(E_n)$，且

  $$\|g_n\|_q \le \left\| \Phi|_{L^p(E_n)} \right\| \le \|\Phi\|$$

  唯一性（a.e.）给出 $g_n = g_m$ a.e. 于 $E_n$（$n < m$），所以它们拼成一个 a.e. 良定义的 $g$。由 MCT，$\|g\|_q = \lim_n \|g_n\|_q \le \|\Phi\|$，故 $g \in L^q$；而对 $f \in L^p$，由 DCT $f\chi_{E_n} \to f$ 于 $L^p$，于是 $\Phi(f) = \lim_n \Phi(f\chi_{E_n}) = \lim_n \int_{E_n} fg = \int fg$。

  Step 3：$\mu$ 任意（此时 $p > 1$，故 $q < \infty$）。 对每个 $\sigma$有限集 $E \subseteq X$，Step 2 给出 a.e. 唯一的 $g_E \in L^q(E)$ 使 $\Phi(f) = \int f g_E$ 对一切 $f \in L^p(E)$ 成立，且 $\|g_E\|_q \le \|\Phi\|$。若 $F \supseteq E$ 也 $\sigma$有限，则 $g_F = g_E$ a.e. 于 $E$，因而 $\|g_F\|_q \ge \|g_E\|_q$。令

  $$M := \sup \{\, \|g_E\|_q : E \text{ 是 }\sigma\text{-有限集} \,\} \le \|\Phi\|$$

  取 $\{E_n\}$ 使 $\|g_{E_n}\|_q \to M$，令 $F = \bigcup_n E_n$（仍 $\sigma$有限）。则 $\|g_F\|_q \ge \|g_{E_n}\|_q$ 对一切 $n$ 成立，故 $\|g_F\|_q = M$。

  $g_F$ 已经是我们要的那个 $g$：设 $A \supseteq F$ $\sigma$有限，则

  $$\int |g_F|^q + \int |g_{A \setminus F}|^q = \int |g_A|^q \le M^q = \int |g_F|^q$$

  故 $g_{A \setminus F} = 0$，即 $g_A = g_F$ a.e.。而对 $f \in L^p$，集合 $A := F \cup \{f \ne 0\}$ 是 $\sigma$有限的，于是 $\Phi(f) = \int f g_A = \int f g_F$。取 $g = g_F$ 即可。∎

  ⭐ Step 1 的核心思想：把 $L^p$ 上的泛函限制在「特征函数」上，就得到一个测度，再用 Radon–Nikodym 把测度变成函数。

谁指向它（入边）

推出 1

• Hölder 不等式、对偶配对 φ_g ⟹ 本页推出
  Hölder + 有界性 $\implies$ $g \in L^q$

  Step 1：有限支可测的 $f$ 也满足 $|\int fg| \le M_g(g)$。

  设 $f$ 有限支可测、$\|f\|_p = 1$。取有限支简单函数列 $\{f_n\} \to f$ a.e.，且 $|f_n| \le |f|$、$|f_n| \le \|f\|_\infty \chi_E$（$E$ 是 $f$ 的支集，有限测度）。由 DCT，

  $$\left| \int fg \right| = \lim_n \left| \int f_n g \right| \le M_g(g)$$

  Step 2：$q < \infty$。 不妨设 $g \ne 0$，且设 $\{g \ne 0\}$ $\sigma$有限（$\mu$ 半有限时这一点自动成立）。

  先说明必须有 $\mu(\{|g| > \varepsilon\}) < \infty$（对一切 $\varepsilon > 0$）：否则设 $E_\varepsilon = \{|g| > \varepsilon\}$ 测度无穷，对任意 $C$ 取 $B \subseteq E_\varepsilon$ 使 $C < \mu(B) < \infty$，令

  $$f = \mu(B)^{-1/q} \chi_B \operatorname{sgn} g, \qquad \|f\|_p = 1$$

  则 $\left| \int fg \right| = \mu(B)^{-1/q} \int_B |g| > \varepsilon \, \mu(B)^{1/p} > \varepsilon C^{1/p}$，令 $C \to \infty$ 就与 $M_g(g) < \infty$ 矛盾。

  于是可取 $\{E_n\} \uparrow \{g \ne 0\}$，$\mu(E_n) < \infty$；再取简单 $\varphi_n \to g$、$|\varphi_n| \le |g|$，令 $g_n := \varphi_n \chi_{E_n}$，则 $g_n \to g$、$|g_n| \le |g|$、且 $g_n$ 在 $E_n^c$ 外为零。令

  $$f_n := \frac{|g_n|^{q-1} \operatorname{sgn} g_n}{\|g_n\|_q^{\,q-1}}, \qquad \|f_n\|_p = 1$$

  则 $f_n$ 有限支，由 Step 1 可用。于是

  $$\|g\|_q \le \lim_n \|g_n\|_q = \lim_n \int f_n g_n \le \lim_n \int |f_n g| = \lim_n \int f_n g \le M_g(g)$$

  （第一个不等号由 Fatou，第二个是 $f_n g_n = |g_n|^q$，中间那个等号用的仍是符号 $\operatorname{sgn}$ 的消失。）故 $\|g\|_q \le M_g(g) < \infty$，$g \in L^q$；反向不等式 $M_g(g) \le \|g\|_q$ 由 Hölder。

  Step 3：$q = \infty$。 对 $\varepsilon > 0$ 令 $A = \{|g(x)| \ge M_\infty(g) + \varepsilon\}$。若 $\mu(A) > 0$，由半有限性或 $A \subseteq \{g \ne 0\}$ 的 $\sigma$有限性取 $B \subseteq A$、$0 < \mu(B) < \infty$，令 $f = \mu(B)^{-1} \chi_B \operatorname{sgn} g$，则 $\|f\|_1 = 1$ 而 $\int fg \ge M_\infty(g) + \varepsilon$ —— 矛盾。故 $\mu(A) = 0$，即 $\|g\|_\infty \le M_\infty(g)$；反方向由 Hölder。∎

定义引用 1

• 对偶配对 φ_g → 本页定义引用

  这条命题说的正是「配对 $\int fg$ 有界」把 $g$ 逼进 L^q。