L^∞ 的性质

说明

证明。 (a) 由 $|f(x)g(x)| \le \|f\|_{\infty}|g(x)|$ 对 a.e. $x$ 成立，取积分得 $\|fg\|_{1} \le \|f\|_{1}\|g\|_{\infty}$；同理 $\|fg\|_{1} \le \|g\|_{1}\|f\|_{\infty}$ ✓。 等号 $\|fg\|_{1} = \|f\|_{1}\|g\|_{\infty}$ 成立 $\iff$ $|g| = \|g\|_{\infty}$ 在 $\{f \ne 0\}$ 上 a.e. —— 否则 $\{f\ne0\}\cap\{|g|<\|g\|_{\infty}\}$ 正测度（在 $\sigma$ 有限下可取有限测度的子块），那里的严格不等式让整体不等式严格 ✓。 (b) $\|\cdot\|_{\infty}$ 是范数：非负性与齐次显然；$\|f\|_{\infty} = 0 \iff f = 0$ a.e. ✓；三角不等式由逐点 $|f+g| \le |f|+|g|$ 取本质上确界得到：设 $N$ 是使 $|f| \le \|f\|_{\infty}$、$|g| \le \|g\|_{\infty}$ 同时成立的补集，则在 $N^{c}$ 上 $|f+g| \le \|f\|_{\infty}+\|g\|_{\infty}$，故 $\|f+g\|_{\infty} \le \|f\|_{\infty}+\|g\|_{\infty}$ ✓。 (c) $\|f_{n}-f\|_{\infty} \to 0$ $\iff$ 存在零集 $N$ 使 $f_{n} \to f$ 在 $N^{c}$ 上一致：

• $(\implies)$ 取 $N := \bigcup_{n}\{|f_{n}-f| > \|f_{n}-f\|_{\infty}\}$，可数并零集 ✓；
• $(\Longleftarrow)$ $\|f_{n}-f\|_{\infty} \le \sup_{N^{c}}|f_{n}-f| \to 0$ ✓。

(d)(e) $L^{\infty}$ 里简单函数稠密：把 $f$ 按值域分层截断即得一致逼近 ✓。但紧支简单函数一般不稠密：取 $f \equiv 1$（$X$ 非紧），任何紧支 $\varphi$ 都满足 $\|f-\varphi\|_{\infty} \ge 1$ ✓ —— 因为 $L^{\infty}$ 只看逐点大小、不看集合的测度。∎

⚠ (c) 值得注意：$L^\infty$ 范数收敛 $=$ 「丢掉一个零集之后一致收敛」 —— 这是 $L^\infty$ 独有的、比其他 $L^p$ 强得多的性质。

⚠ (e) 与「紧支简单函数在 $L^p$ 稠密」形成对照：$L^\infty$ 里简单函数够稠密，但紧支的就不够（因为 $L^\infty$ 不看测度大小，只看逐点大小）。

一个很有用的直觉 ——「$L^p$ 怎么样失败？」：

1. 在某点增长太快（局部爆破）；
2. 在无穷远衰减太慢。

记住这两条，下面三个包含关系命题的取向就都能自己想出来。