可积 / L¹integrable

它指向谁（出边）

推出 1

• 本页 ⟹ L¹ 收敛 ⟹ 依测度收敛推出
  Markov 不等式 $\implies L^{1}$ 收敛蕴含依测度收敛

  Markov 不等式：设 $g$ 可测非负，则对任意 $\varepsilon > 0$，

  $$\mu(\{g \ge \varepsilon\}) \le (1/\varepsilon)\cdot\int g d\mu$$

  证明：在 $\{g \ge \varepsilon\}$ 上有 $\varepsilon \le g$，即 $\varepsilon \chi_{\{g \ge \varepsilon\}} \le g$；两边积分得 $\varepsilon\cdot\mu(\{g \ge \varepsilon\}) \le \int g$。

  取 $g = |f_n - f|$。给定 $\delta > 0$，

  $$\mu(\{|f_n - f| > \delta\}) \le (1/\delta)\cdot\int |f_n - f| d\mu \to 0$$

  （最后一步正是 $L^{1}$ 收敛的定义。）再对任意 $\varepsilon > 0$ 取 $n$ 足够大即可。∎

定义引用 18

• 控制收敛定理 用到 本页定义引用

  DCT 的前提与结论都在 $L^{1}$ 里。

• L¹ 是向量空间 用到 本页定义引用

  这条命题说 $L^{1}$ 在代数上是个向量空间。

• L¹ 里的逼近 用到 本页定义引用

  逼近定理是在 $L^{1}$ 里说的（用的是 $\int |f - \varphi |$ 这个量）。

• L¹ 收敛 ⟹ 依测度收敛 用到 本页定义引用

  $L^{1}$ 收敛的定义里用到 $\int |f_{n} - f|$。

• Fubini–Tonelli 用到 本页定义引用

  Fubini 的 (b) 用的是 $L^{1}(\mu \times \nu )$。

• 积分给出绝对连续测度 用到 本页定义引用

  「$\nu$ 有限 $\iff f \in L^{1}(\mu )$」用到可积的定义。

• 复测度的 Radon–Nikodym 用到 本页定义引用

  复情形下密度必须是 $L^{1}$ 的。

• L¹(ν) 与全变差 用到 本页定义引用

  $L^{1}(\nu )$ 的定义直接搬用 $L^{1}(|\nu |)$。

• 微积分基本定理（Lebesgue 版） 用到 本页定义引用

  (b)(c) 里的 $f$、$F'$ 都要求在 $L^{1}$ 里。

• 积分绝对值不等式 用到 本页定义引用

  前提 $f \in L^1(\mu)$ 就是可积。

• L¹ 函数的支撑 σ-有限 用到 本页定义引用

  前提就是 $f \in L^1(\mu)$。

• 积分的绝对连续性 用到 本页定义引用

  前提 $f \in L^1(\mu)$；积分 $\int_E f$ 要可积才有意义。

• 何时两个函数积分处处相同 用到 本页定义引用

  前提 $f, g \in L^1(\mu)$ 说的是两个函数都可积。

• L^∞ 的性质 用到 本页定义引用

  (a) 里出现的 $f \in L^1$ 就是可积。

• NBV 函数的导数与测度的关系 用到 本页定义引用

  结论 $F' \in L^1(m)$ 说的是可积。

• 积出来的函数是 AC · NBV 用到 本页定义引用

  (1) 的前提 $f \in L^1(m)$ 是可积。

• 五种收敛 用到 本页定义引用

  $L^1$ 收敛是 $\int |f_n - f| \to 0$，用到可积这个概念。

• 局部可积 用到 本页定义引用

  判据 $\int_K |f| < \infty$ 与 $L^1$ 的可积判据同源，只是把整个空间换成有界可测集 $K$。

谁指向它（入边）

定义引用 4

• L⁺ → 本页定义引用

  可积 $\iff \int |f| < \infty$，而 $|f| \in L^{+}$。

• 商集与等价类 → 本页定义引用

  $L^1$ 的元素不是函数本身，而是函数在 a.e. 相等下的等价类 —— 后面 $L^p$、RN 导数用的是同一个手法。

• 非负函数的积分 → 本页定义引用

  可积的判据 $\int |f| < \infty$ 是一个非负函数的积分。

• 复函数的积分 → 本页定义引用

  实值情形要先拆成正负部（复函数的积分），再要求这两个积分都有限。