非负函数的积分

它指向谁（出边）

推出 1

• 本页 ⟹ 单调收敛定理推出
  非负积分的定义 $\implies$ 单调收敛定理

  ① 一个方向是免费的。 由 $f_{n} \le f$ 与积分的单调性，$\int f_{n} \le \int f$，故

  $$\lim_{n\to\infty} \int f_n \le \int f$$

  所以只需证另一边。

  ② 用一个简单函数从下面逼近 $f$。 给定 $\varepsilon > 0$，由 $\int f$ 的定义（取上确界）存在简单函数 $\varphi$ 使

  $$0 \le \varphi \le f, \quad \int \varphi \ge \int f - \varepsilon$$

  ③ 把 $\varphi$ 搬进 $E_{n}$。 令 $E_n = \{x : f_n(x) \ge \varphi(x)\}$。因为 $f_{n} \uparrow f$ 且 $\varphi \le f$，集合列 $E_{n}$ 是递增的、且 $\bigcup_n E_n = X$。于是

  $$\int f_n \ge \int_{E_n} f_n \ge \int_{E_n} \varphi$$

  ④ 让 $n \to \infty$。 由简单函数积分的性质 (d)，$A \mapsto \int_A \varphi d\mu$ 是 $\mathcal{M}$ 上的一个测度；把它用在递增列 $E_{n} \uparrow X$ 上，用测度的下连续性：

  $$\lim_{n\to\infty} \int_{E_n} \varphi = \int_X \varphi = \int \varphi$$

  所以存在 $N$ 使 $n > N$ 时 $\int_{E_n} \varphi > \int \varphi - \varepsilon$，从而

  $$\int f_n \ge \int \varphi - \varepsilon \ge \int f - 2\varepsilon$$

  ⑤ 收尾。 对一切 $n > N$ 成立，故 $\lim_n \int f_n \ge \int f - 2\varepsilon$；令 $\varepsilon \to 0$ 得 $\lim_n \int f_n \ge \int f$。与 ① 合起来就是等号。∎

  $>$ ⭐ 整段证明只用了两样东西：简单函数积分的 (d)（把 $A \mapsto \int _A \varphi$ 当作测度）和积分的单调性。单调性假设就是用来保证 ③ 里的 $E_{n}$ 递增到 $X$ 的。

  「先拿一个简单函数从下面顶住 $f$，再让 $E_{n}$ 爬上去」—— 这个套路在 Fatou 引理里还会再用一次。

定义引用 5

• 单调收敛定理 用到 本页定义引用

  MCT 是绕着这个定义做的。

• 递增函数的导数积分不等式 用到 本页定义引用

  $\int_a^b F'$ 里 $F$ 递增所以 $F' \ge 0$，走的是非负函数的积分。

• 复函数的积分 用到 本页定义引用

  正负部的积分 $\int f^+$ 与 $\int f^-$ 用的都是非负函数的积分。

• 可积 / L¹ 用到 本页定义引用

  可积的判据 $\int |f| < \infty$ 是一个非负函数的积分。

• L^p 范数 用到 本页定义引用

  $\|f\|_p = \left[ \int |f|^p \, d\mu \right]^{1/p}$ 用的是非负函数的积分。

谁指向它（入边）

定义引用 3

• 简单函数的积分 → 本页定义引用

  非负函数的积分定义成简单函数积分族的上确界。

• 界与确界 → 本页定义引用

  非负函数的积分定义成 $\sup \{ \int \varphi \}$ —— 取的是实数（或 $+\infty$）的上确界。

• L⁺ → 本页定义引用

  定义写成 $\int f := \sup \{ \int \varphi : 0 \le \varphi \le f \}$，其中 $f \in L^+$。