交换极限/导数与积分differentiation under the integral sign

谁指向它（入边）

推出 1

• 控制收敛定理 ⟹ 本页推出
  DCT $\implies$ 在积分号下求极限与求导

  (a) 取任意 $t_n \to t_0$，令 $f_n(x) = f(x, t_n)$。由题设 $|f_n| \le g \in L^1$、且 $f_n \to f(x,t_0)$ 逐点，DCT 直接给出

  $$F(t_n) = \int f_n \to \int f(\cdot, t_0) = F(t_0)$$

  对一切序列 $t_{n}$ 成立，故 $\lim_{t\to t_0} F(t) = F(t_0)$。

  (b) 取任意 $t_n \to t_0$，令

  $$h_n(x) = (f(x, t_n) - f(x, t_0)) / (t_n - t_0)$$

  则 $F'(t_0) = \lim_n (F(t_n) - F(t_0)) / (t_n - t_0) = \lim_n \int h_n$。要把它换成 $\int \lim h_{n}$ 就够了，而 DCT 正好提供这个能力：

  $\cdot$ $h_n \to \partial f / \partial t(x, t_0)$ 逐点（这是导数的定义）； $\cdot$ 控制：由中值定理，$|h_n(x)| \le \sup_{t \in [t_0, t_n]} | \partial f / \partial t(x, t) | \le g(x)$。

  于是

  $$F'(t_0) = \lim_n \int h_n = \int \lim_n h_n = \int \partial f / \partial t(x, t_0) d\mu(x)$$

  ∎

  $>$ ⚠ (b) 里那个「取 sup 的控制」必须提前假定：如果只对每个 $t$ 假设有控制，是不够的 —— 需要同一个 $g$ 控制整族偏导数。