复函数的积分

复值函数的积分：正负部相减

def.integral-complex · 定义 · 积分 · 复值

又称复函数的积分·复积分

陈述

设 f:X→R‾f : X \to \overline{\mathbb{R}} 可测，记正部与负部

f+=max⁡f,0,f−=max⁡−f,0f^+ = \max_{f, 0}, \quad f^- = \max_{-f, 0}

（两者都属于 L+L^{+}，且 f=f+−f−f = f^+ - f^-、∣f∣=f++f−|f| = f^+ + f^-。）若 ∫f+\int f^+ 与 ∫f−\int f^- 中至少一个有限，定义

∫f:=∫f+−∫f−\int f := \int f^+ - \int f^-

对复值函数，拆实部虚部：∫f:=∫Re⁡f+i∫Im⁡f\int f := \int \operatorname{Re} f + i \int \operatorname{Im} f（要求两个积分都有意义）。

说明

⚠ 「至少一个有限」是为了避免 ∞−∞\infty - \infty：那是不定式，必须排除。

若两个都有限，就说 ff 可积（见下一条）。

对复值函数，Re⁡f\operatorname{Re} f 与 Im⁡f\operatorname{Im} f 可积   ⟺  f\iff f 可积，因为 ∣Re⁡f∣,∣Im⁡f∣≤∣f∣≤∣Re⁡f∣+∣Im⁡f∣|\operatorname{Re} f|, |\operatorname{Im} f| \le |f| \le |\operatorname{Re} f| + |\operatorname{Im} f|。

它指向谁（出边）

定义引用 3

谁指向它（入边）

定义引用 3

参考

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