积分为零 ⟺ 几乎处处为零

命题： $\int f = 0 \iff f = 0 \text{a.e.}$

命题
依赖深度 layer 17
分析学
积分

prop.integral-zero-iff · 命题 · 零集 · 几乎处处

又称积分为零·积分为零推出几乎处处为零

陈述

设 $f \in L^+$ 。则

\int f d\mu = 0 \iff f = 0 \mu-\text{a.e.}

说明

证明。 $(\Longleftarrow)$ 若 $f = 0$ a.e.，则任何简单函数 $\varphi \le f$ 也 a.e. 为零（在 $f = 0$ 处 $\varphi = 0$ ），故 $\int \varphi = 0$ ；对全体这样的 $\varphi$ 取上确界得 $\int f = 0$ ✓。 $(\implies)$ 设 $\int f = 0$ 。对每个 $n \ge 1$ 记 $A_{n} := \{f > 1/n\}$ （可测）。由 $\frac1n\chi_{A_{n}} \le f$ 得

\frac1n\,\mu(A_{n}) \le \int f\,\mathrm{d}\mu = 0 \implies \mu(A_{n}) = 0 .

而 $\{f > 0\} = \bigcup_{n \ge 1} A_{n}$ 是可数并零集，故 $\mu(\{f>0\}) = 0$ ，即 $f = 0$ a.e. ✓。∎ 附带地： $\{f = +\infty\} \subseteq \{f>0\}$ 也一起被处理掉了。

$(\Longleftarrow )$ 只要 $f$ 在零集外为零，下确界里的每个简单函数 $\varphi \le f$ 也几乎处处为零，从而 $\int \varphi = 0$ 。

$(\implies )$ 记 $A_n = \{f > 1/n\}$ ，则 $(1/n)\cdot\mu(A_n) \le \int f = 0$ ，故 $\mu (A_{n}) = 0$ ；而 $\{f > 0\} = \bigcup_n A_n$ 是零测的。

⭐ 这条把「积分」与「几乎处处」这两个概念绑在一起了 —— 它是 $L^{1}$ 里「 $f = g$ 」按 a.e. 理解的原因。

它指向谁（出边）

推出 2

本页 ⟹ L¹ 的逐项积分推出

非负逐项积分 + 零集判定 $\implies L^{1}$ 的逐项积分

设 $\sum_j \int |f_j| < \infty$ 。
① 绝对收敛 a.e.。 令 $g = \sum_j |f_j| \in L^+$ 。由非负函数的逐项积分，
$\int g = \sum_j \int |f_j| < \infty$
由「积分有限的后果」， $g < \infty \text{a.e.}$ ，即 $\sum_j |f_j(x)| < \infty$ 对 a.e. x 成立。所以 $\sum_j f_j(x)$ 对 a.e. x 绝对收敛。
② 定义 $f$ 。 令 $f(x) = \sum_j f_j(x)$ （在收敛的 a.e. 点上），其余点随意取 0。则 $|f| \le g$ ，故 $f \in L^{1}$ 。
③ 部分和被控制。 部分和 $s_N = \sum_{j\le N} f_j$ 满足 $|s_N| \le g \in L^1$ 。
④ 用 DCT。 $s_N \to f$ a.e.，且被 $g$ 控制，故
$\int f = \lim_{N\to\infty} \int s_N = \lim_{N\to\infty} \sum_{j\le N} \int f_j = \sum_{j=1}^{\infty} \int f_j$
（中间一步用 $L^{1}$ 的线性。）∎
本页 ⟹ 何时两个函数积分处处相同推出

积分为零 $\implies$ 用积分识别函数

记 $h = f - g \in L^1$ 。三条之间的等价链条是
$(i) \int_E f = \int_E g\quad \forall E \in \mathcal{M}\quad \iff\quad \int_E h = 0\quad \forall E$
$(i) \implies (ii)$ ：分别取 $E = \{h \ge 0\}$ 与 $E = \{h < 0\}$ 。由 $\int_E h = 0$ 且 $h$ 在 $E$ 上不变号，得 $\{h > 0\}$ 与 $\{h < 0\}$ 都是零集（否则积分为正/负），故 $\mu(\{h \ne 0\}) = 0$ ，于是 $\int|h| = 0$ 。
$(ii) \implies (iii)$ ： $\int|h| = 0$ 配合「积分为零 $\iff$ 几乎处处为零」，直接得到 $h = 0 \text{a.e.}$ 。
$(iii) \implies (i)$ ： $h = 0 \text{a.e.}$ 时，对任意 $E$ ， $\int_E h$ 的简单函数逼近里可以整体避开零集，故积分为 0。∎

谁指向它（入边）

定义引用 2

零集与完备 → 本页定义引用

「积分为零 $\iff$ 几乎处处为零」里的 a.e. 就是相对于零集说的。
几乎处处 → 本页定义引用

结论「 $f = 0$ 几乎处处」里的 a.e. 就是它。

参考

Folland, Real Analysis, Prop. 2.16

常见问法 1 条

积分为零是什么意思也看几乎处处、零集与完备

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