简单函数积分的性质

① 一个方向是免费的。 由 $f_{n} \le f$ 与积分的单调性，$\int f_{n} \le \int f$，故

所以只需证另一边。

② 用一个简单函数从下面逼近 $f$。 给定 $\varepsilon > 0$，由 $\int f$ 的定义（取上确界）存在简单函数 $\varphi$ 使

③ 把 $\varphi$ 搬进 $E_{n}$。 令 $E_n = \{x : f_n(x) \ge \varphi(x)\}$。因为 $f_{n} \uparrow f$ 且 $\varphi \le f$，集合列 $E_{n}$ 是递增的、且 $\bigcup_n E_n = X$。于是

④ 让 $n \to \infty$。 由简单函数积分的性质 (d)，$A \mapsto \int_A \varphi d\mu$ 是 $\mathcal{M}$ 上的一个测度；把它用在递增列 $E_{n} \uparrow X$ 上，用测度的下连续性：

所以存在 $N$ 使 $n > N$ 时 $\int_{E_n} \varphi > \int \varphi - \varepsilon$，从而

⑤ 收尾。 对一切 $n > N$ 成立，故 $\lim_n \int f_n \ge \int f - 2\varepsilon$；令 $\varepsilon \to 0$ 得 $\lim_n \int f_n \ge \int f$。与 ① 合起来就是等号。∎

$>$ ⭐ 整段证明只用了两样东西：简单函数积分的 (d)（把 $A \mapsto \int _A \varphi$ 当作测度）和积分的单调性。单调性假设就是用来保证 ③ 里的 $E_{n}$ 递增到 $X$ 的。