逐项积分term-by-term integration

它指向谁（出边）

推出 1

• 本页 ⟹ L¹ 的逐项积分推出
  非负逐项积分 + 零集判定 $\implies L^{1}$ 的逐项积分

  设 $\sum_j \int |f_j| < \infty$。

  ① 绝对收敛 a.e.。 令 $g = \sum_j |f_j| \in L^+$。由非负函数的逐项积分，

  $$\int g = \sum_j \int |f_j| < \infty$$

  由「积分有限的后果」，$g < \infty \text{a.e.}$，即 $\sum_j |f_j(x)| < \infty$ 对 a.e. x 成立。所以 $\sum_j f_j(x)$ 对 a.e. x 绝对收敛。

  ② 定义 $f$。 令 $f(x) = \sum_j f_j(x)$（在收敛的 a.e. 点上），其余点随意取 0。则 $|f| \le g$，故 $f \in L^{1}$。

  ③ 部分和被控制。 部分和 $s_N = \sum_{j\le N} f_j$ 满足 $|s_N| \le g \in L^1$。

  ④ 用 DCT。 $s_N \to f$ a.e.，且被 $g$ 控制，故

  $$\int f = \lim_{N\to\infty} \int s_N = \lim_{N\to\infty} \sum_{j\le N} \int f_j = \sum_{j=1}^{\infty} \int f_j$$

  （中间一步用 $L^{1}$ 的线性。）∎

谁指向它（入边）

推出 1

• 单调收敛定理 ⟹ 本页推出
  MCT $\implies$ 逐项积分

  ① 先看两项。 由非负性，$\{f_1 \wedge n\}$、$\{f_2 \wedge n\}$ 都是简单函数列的极限（简单函数逼近定理），于是

  $$\int (f_1 + f_2) = \lim_{n\to\infty} \int (\varphi_n + \psi_n) = \int f_1 + \int f_2$$

  其中用到了 MCT（把 $f_{1} + f_{2}$ 写成极限）与简单函数积分的可加性 (b)。

  ② 归纳到有限项。 逐次用 ① 得到

  $$\int \sum_{n=1}^{N} f_n = \sum_{n=1}^{N} \int f_n$$

  ③ 让 $N \to \infty$。 部分和 $\sum_{n\le N} f_n$ 是 $L^{+}$ 中的递增列，极限正是 $\sum_{n=1}^{\infty} f_n$。对部分和列用一次 MCT：

  $$\int \sum_{n=1}^{\infty} f_n = \lim_{N\to\infty} \int \sum_{n=1}^{N} f_n = \lim_{N\to\infty} \sum_{n=1}^{N} \int f_n = \sum_{n=1}^{\infty} \int f_n$$

  ∎

定义引用 1

• 测度 → 本页定义引用

  逐项积分最终落在测度的可数可加性上。