测度

它指向谁（出边）

推出 1

• 本页 ⟹ 测度的基本性质推出
  测度 $\implies$ 单调 / 次可加 / 上下连续

  设 $\mu$ 是测度。

  (a) 单调。 设 $E \subseteq F$。则 $F = E \cup (F \setminus E)$，两项不交，故 $\mu (F) = \mu (E) + \mu (F \setminus E) \ge \mu (E)$（取值非负）。

  (b) 次可加。 令 $F_{j} = E_{j} \setminus (E_{1} \cup \cdots \cup E_\{j-1\})$，则 $F_{j}$ 两两不交、$\bigcup F_{j} = \bigcup E_{j}$ 且 $F_{j} \subseteq E_{j}$。由可数可加与 (a)，

  $$\mu(\bigcup_j E_j) = \mu(\bigcup_j F_j) = \sum_j \mu(F_j) \le \sum_j \mu(E_j)$$

  (c) 下连续。 设 $E_{1} \subseteq E_{2} \subseteq \cdots$。令 $A_{1} = E_{1}$，$A_{j} = E_{j} \setminus E_\{j-1\}$（$j \ge 2$），则 $A_{j}$ 两两不交且 $\bigcup A_{j} = \bigcup E_{j}$。由可数可加，

  $$\mu(\bigcup_j E_j) = \sum_j \mu(A_j) = \lim_{n\to\infty} \sum_{j=1}^{n} \mu(A_j) = \lim_{n\to\infty} \mu(E_n)$$

  (d) 上连续。 设 $E_{1} \supseteq E_{2} \supseteq \cdots$ 且 $\mu (E_{1}) < \infty$。令 $F_{j} = E_{1} \setminus E_{j}$，则 $F_{1} \subseteq F_{2} \subseteq \cdots$ 且 $\bigcup F_{j} = E_{1} \setminus \bigcap E_{j}$。由 (c) 与 (a)，

  $$\mu(E_1) - \mu(\bigcap_j E_j) = \mu(E_1 \setminus \bigcap_j E_j) = \lim_j \mu(F_j) = \lim_j ( \mu(E_1) - \mu(E_j) )$$

  因为 $\mu (E_{1}) < \infty$ 是个有限数，可以从两边同时减掉，得 $\mu (\bigcap E_{j}) = \lim \mu (E_{j})$。∎

  $>$ ⚠ (d) 里的「$\mu (E_{1}) < \infty$」正是为了让 $\mu (E_{1})$ 能被减掉。没有它，等式会退化成 $\infty = \infty$。

定义引用 28

• 有限 / σ-有限 / 半有限 用到 本页定义引用

  有限 $/ \sigma$有限 / 半有限都是在测度的定义上追加条件。

• 完备化定理 用到 本页定义引用

  完备化的构造完全依赖测度与零集。

• Lebesgue–Stieltjes 测度 用到 本页定义引用

  Lebesgue–Stieltjes 测度是一种 Borel 测度。

• 测度的基本性质 用到 本页定义引用

  这几条性质都是测度定义（可数可加）的直接推论。

• 可测函数的封闭性 用到 本页定义引用

  封闭性里的极限都是相对测度 $\mu$ 而言的。

• 逐项积分 用到 本页定义引用

  逐项积分最终落在测度的可数可加性上。

• Egorov 定理 用到 本页定义引用

  证明的 ③ 靠测度的上连续性，而那是可数可加性的推论。

• 绝对连续 用到 本页定义引用

  绝对连续里被参照的 $\mu$ 是一个真测度。

• 全变差的基本性质 用到 本页定义引用

  全变差本身是一个测度。

• 测度 ↔ NBV 的一一对应 用到 本页定义引用

  另一边是 $\mathbb{R}$ 上的复 Borel 测度。

• 几乎处处 用到 本页定义引用

  $\mu(E) = 0$ 里的 $\mu$ 是测度；a.e. 是测度空间上的说法。

• 覆盖引理 用到 本页定义引用

  $m(U)$、$\sum m(B_j)$ 里的 $m$ 是测度（Lebesgue 测度）。

• 预测度 用到 本页定义引用

  「仍满足测度的两条」——预测度就是把测度的定义域从 $\sigma$ 代数放宽到环。

• 有限可加测度 用到 本页定义引用

  把测度的可数可加降成有限可加，就是有限可加测度。

• 零集与完备 用到 本页定义引用

  $\mu$ 零集是「$\mu(E) = 0$ 的可测集」，$E$ 与 $\mu$ 都来自测度空间。

• L⁺ 用到 本页定义引用

  $L^+$ 要先固定一个测度空间 $(X, \mathcal{M}, \mu)$ 才谈得上。

• 简单函数的积分 用到 本页定义引用

  加权和 $\sum_j a_j \, \mu(E_j)$ 里的 $\mu$ 是测度。

• 五种收敛 用到 本页定义引用

  a.e. 收敛与依测度收敛里的零集、$\mu(\{\cdots\})$ 都用测度。

• 依测度 Cauchy 用到 本页定义引用

  定义里的 $\mu(\{\cdots\})$ 是测度。

• 乘积测度 用到 本页定义引用

  $\mu \times \nu$ 是由两个测度 $\mu$、$\nu$ 造出来的。

• 符号测度 用到 本页定义引用

  例 1 直接把符号测度写成两个测度之差 $\nu = \mu_1 - \mu_2$。

• 相互奇异 用到 本页定义引用

  $\mu$ 与 $\nu$ 本身是（符号）测度。

• RN 导数与 Lebesgue 分解 用到 本页定义引用

  定理要求 $\nu \ll \mu$ 且两者都 $\sigma$ 有限——$\sigma$ 有限性是关于测度的。

• 复测度 用到 本页定义引用

  复测度是照着测度改写取值的：$\nu : \mathcal{M} \to \mathbb{C}$。

• 平均算子 Aᵣ 用到 本页定义引用

  平均值里的 $m(B(r, x))$ 是 Lebesgue 测度。

• L^p 范数 用到 本页定义引用

  $\|f\|_p$ 里的积分是对测度 $\mu$ 取的。

• 本性上界与 L^∞ 用到 本页定义引用

  定义里出现 $\mu(\{ |f| > a \}) = 0$，用的是测度。

• 可缩族 用到 本页定义引用

  「$m(E_r) > \alpha \cdot m(B(r, x))$」里的 $m$ 是一个测度。

谁指向它（入边）

定义引用 3

• 扩充实数 [−∞,+∞] → 本页定义引用

  测度的取值放在 $[0, +\infty]$ 里，正是扩充实数。

• σ-代数 → 本页定义引用

  测度是定义在$\sigma$ 代数 $\mathcal{M}$ 上的函数 $\mu : \mathcal{M} \to [0, +\infty]$。

• 扩充实数 [−∞,+∞] → 本页定义引用

  测度也取值在 $[0, +\infty]$ 里 —— 「$\mu$ 是测度」这句话里的 $\mu$ 是映到扩充实数的。