完备化定理completion

它指向谁（出边）

推出 2

• 本页 ⟹ 完备化后可改在零集上推出
  完备化定理 $\implies$ 完备空间上的可测函数可改在零集上

  完备化 $(X, \bar{\mathcal{M}}, \bar{\mu})$ 相对 $(X, \mathcal{M}, \mu)$ 只多做了一件事：把零集的子集也收进 $\sigma$代数。所以两个 $\sigma$代数只在零集上不同。

  先取 $f = \chi_E$：此时 $E = E' \cup F$，$E' \in \mathcal{M}$、$F$ 含于某个 $\mathcal{M}$零集，取 $g = \chi_{E'}$ 即有 $f = g$ a.e.。对 $\mathcal{M}$可测的简单函数显然成立（有限线性组合）。

  一般情形取简单函数列 $\varphi_n \to f$，每个 $\varphi_n$ 在一个 $\bar{\mathcal{M}}$零集 $E_n$ 外等于某个 $\mathcal{M}$可测的 $\psi_n$。把 $N := \bigcup_n E_n$ 并起来（可数并仍是零集），令 $g := \lim_n \chi_{N^c} \cdot \varphi_n$ —— 它在 $N^c$ 上等于 $f$，且作为 $\mathcal{M}$可测函数的极限仍 $\mathcal{M}$可测。∎

• 本页 ⟹ 完备情形的 F–T推出
  乘积测度通常不完备 $\implies$ 必须补一条完备情形的 F–T

  ① 先证 $f \ge 0$ 的情形。 由于 $\lambda$ 是 $\mu \times \nu$ 的完备化，$\mathcal{L}$ 中的集合可以写成

  $$E = F \cup G, \quad F \in \mathcal{M} \otimes \mathcal{N}, \quad G \subseteq H, \quad \mu \times \nu(H) = 0$$

  （取不交化后即 $E = F \sqcup G$，于是 $\chi_E = \chi_F + \chi_G$。）

  ② $\chi_F$ 那一半没问题 —— 直接归 Fubini–Tonelli（$F \in \mathcal{M}\otimes\mathcal{N}$）。

  ③ $\chi_G$ 那一半也没问题 —— 因为 $G \subseteq H$ 而 $\mu \times \nu (H) = 0$，所以对每一个 $x$ 都有 $\nu(G_x) \le \nu(H_x) = 0$（$H$ 的截口是 $\nu$零集，这一步用截口公式对 $H$ 本身成立），于是

  $$\int \chi_G d\lambda = 0 = \int ( \int \chi_G d\nu ) d\mu$$

  两边都是 0。（对 a.e. 的 $x$，$G_x$ 是 $\nu$零集。）

  ④ 由线性推广到非负简单函数，再用 MCT 推广到一切 $f \ge 0$。 关键点：完备化只多出「含在零集里的部分」，而这部分对积分的贡献恒为 0，所以整段论证不会被破坏。

  ⑤ 一般情形：把 $f$ 拆成 $\operatorname{Re} f^\pm , \operatorname{Im} f^\pm$ 四个非负部分，逐块用 ④ —— 但此时所有断言都退化成「对 a.e. 的 x / y」，因为零集上的截口行为不再逐一可控。∎

  $>$ 要点：核心就是把 $E$ 拆成 $F \sqcup G$ —— $F$ 归老定理、$G$ 归「截口都是零集」。

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推出 1

• 零集与完备 ⟹ 本页推出
  零集 $\implies$ 完备化

  设 $(X, \mathcal{M}, \mu )$ 是测度空间，$\bar{\mathcal{M}} = \{ E \cup F : E \in \mathcal{M}, F \subseteq N$ 对某个零集 N }。

  ① $\bar{\mathcal{M}}$ 是 $\sigma$代数。 含 $X$（$X \in \mathcal{M}$）。对可数并：$\bigcup (E_{j} \cup F_{j}) = (\bigcup E_{j}) \cup (\bigcup F_{j})$，而 $\bigcup F_{j} \subseteq \bigcup N_{j}$ 是零集。对补：$E \cup F$ 的补是

  $$(E \cup F)^c = (E^c \cap N^c) \cup (E^c \cap N \setminus F)$$

  第一块属于 $\mathcal{M}$，第二块含在零集 $N$ 里，故属于 $\bar{\mathcal{M}}$ 的形状。

  ② $\bar{\mu}$ 良定义。 设 $E_{1} \cup F_{1} = E_{2} \cup F_{2}$ 且 $F_{i} \subseteq N_{i}$（零集）。由 $E_{1} \subseteq E_{2} \cup N_{2}$ 得 $\mu (E_{1}) \le \mu (E_{2}) + 0$，反向同理，故 $\mu (E_{1}) = \mu (E_{2})$。

  ③ $\bar{\mu}$ 是测度。 把 $\mathcal{N}$ 中集合的子集归入「零的一部分」后，可数可加性与 $\mu$ 上的逐一对应（$E_{j}$ 部分可数可加、$F_{j}$ 部分含于零集）。

  ④ 完备。 若 $\bar{\mu}(E \cup F) = 0$，则 $\mu (E) = 0$，于是 $E \cup F \subseteq E \cup N$ 是零集的子集 —— 按 $\bar{\mathcal{M}}$ 的定义它当然还在 $\bar{\mathcal{M}}$ 里，即：$\bar{\mathcal{M}}$ 中每个零集的子集都可测。∎

定义引用 2

• 测度 → 本页定义引用

  完备化的构造完全依赖测度与零集。

• 零集与完备 → 本页定义引用

  完备化定理的定义里整段都在用「零集」。