测度的基本性质

谁指向它（入边）

推出 1

• 测度 ⟹ 本页推出
  测度 $\implies$ 单调 / 次可加 / 上下连续

  设 $\mu$ 是测度。

  (a) 单调。 设 $E \subseteq F$。则 $F = E \cup (F \setminus E)$，两项不交，故 $\mu (F) = \mu (E) + \mu (F \setminus E) \ge \mu (E)$（取值非负）。

  (b) 次可加。 令 $F_{j} = E_{j} \setminus (E_{1} \cup \cdots \cup E_\{j-1\})$，则 $F_{j}$ 两两不交、$\bigcup F_{j} = \bigcup E_{j}$ 且 $F_{j} \subseteq E_{j}$。由可数可加与 (a)，

  $$\mu(\bigcup_j E_j) = \mu(\bigcup_j F_j) = \sum_j \mu(F_j) \le \sum_j \mu(E_j)$$

  (c) 下连续。 设 $E_{1} \subseteq E_{2} \subseteq \cdots$。令 $A_{1} = E_{1}$，$A_{j} = E_{j} \setminus E_\{j-1\}$（$j \ge 2$），则 $A_{j}$ 两两不交且 $\bigcup A_{j} = \bigcup E_{j}$。由可数可加，

  $$\mu(\bigcup_j E_j) = \sum_j \mu(A_j) = \lim_{n\to\infty} \sum_{j=1}^{n} \mu(A_j) = \lim_{n\to\infty} \mu(E_n)$$

  (d) 上连续。 设 $E_{1} \supseteq E_{2} \supseteq \cdots$ 且 $\mu (E_{1}) < \infty$。令 $F_{j} = E_{1} \setminus E_{j}$，则 $F_{1} \subseteq F_{2} \subseteq \cdots$ 且 $\bigcup F_{j} = E_{1} \setminus \bigcap E_{j}$。由 (c) 与 (a)，

  $$\mu(E_1) - \mu(\bigcap_j E_j) = \mu(E_1 \setminus \bigcap_j E_j) = \lim_j \mu(F_j) = \lim_j ( \mu(E_1) - \mu(E_j) )$$

  因为 $\mu (E_{1}) < \infty$ 是个有限数，可以从两边同时减掉，得 $\mu (\bigcap E_{j}) = \lim \mu (E_{j})$。∎

  $>$ ⚠ (d) 里的「$\mu (E_{1}) < \infty$」正是为了让 $\mu (E_{1})$ 能被减掉。没有它，等式会退化成 $\infty = \infty$。

定义引用 1

• 测度 → 本页定义引用

  这几条性质都是测度定义（可数可加）的直接推论。