有限 / σ-有限 / 半有限sigma-finite

说明

$\text{有限} \implies \sigma-\text{有限} \implies\text{ 半有限}$，两个箭头都不可逆。

$\sigma$有限是最常用的技术假设：$\mathbb{R}$ 上的 Lebesgue 测度 $\sigma$有限（$\mathbb{R} = \bigcup _{n} [-n, n]$），而计数测度在 $\mathbb{R}$ 上不是 $\sigma$有限的。很多定理（Fubini、Radon–Nikodym、Carathéodory 扩张的唯一性）都要 $\sigma$有限。

半有限比 $\sigma$有限弱得多：可以造出「每个可测集要么零测度、要么无穷测度」的测度，它就是半有限的极端反例。