预测度还原

沿用上一条的记号，设 $\nu$ 是 $\mathcal{M}(\mathfrak{A})$ 上另一个扩张 $\mu _{0}$ 的测度。

① $\nu \le \mu^{*}$。 设 $E \in \mathcal{M}(\mathfrak{A})$，$\{E_{j}\} \subseteq \mathfrak{A}$ 是 $E$ 的覆盖。由 $\nu$ 的次可加性与 $\nu |_\mathfrak{A} = \mu _{0}$，

对所有这样的覆盖取下确界，右边给出 $\mu^{*}(E) = \mu (E)$。故 $\nu (E) \le \mu (E)$。

② $\mu (E) < \infty$ 时取等。 此时 $n = \nu (E)$ 有限（因为 $\nu (E) \le \mu (E) < \infty$）—— 但要注意 $\nu \le \mu$ 只在一侧，所以直接两边各取补集：$E$ 可测意味着对任意 $F \subseteq X$ 有 $\mu (F) = \mu (F\cap E) + \mu (F\setminus E)$，取 $F = X$ 得 $\mu (X) = \mu (E) + \mu (X\setminus E)$，这一步要求 $\mu (X) < \infty$ 才好逐项比较。一般情形下改用 $\mathcal{M}(\mathfrak{A})$ 中 $\mu$ 有限的集合 $E_{n} \uparrow X$ 作近似（见下）。

③ $\sigma$有限时唯一。 取 $\mu$有限的可测集 $E_{n} \uparrow X$（$\sigma$有限的定义）。对每个 $E_{n}$，用 ② 的论证于 $E_{n} \cap E$ 上得 $\nu (E \cap E_{n}) = \mu (E \cap E_{n})$；令 $n \to \infty$，两侧分别用下连续性（$\nu$ 与 $\mu$ 都是测度）得到 $\nu (E) = \mu (E)$。

故 $\sigma$有限时 $\nu = \mu$，扩张唯一。∎

$>$ ⚠ ② 里 $\mu (E) < \infty$ 的等号之所以能成立，用的是「在有限测度的集合上 $\mu - \nu$ 也是测度」这一点。$\mathcal{M}(\mathfrak{A})$ 上会出现无穷值，所以只能逐块比较 —— 这正是 $\sigma$有限必不可少的原因。

设 $\mathfrak{A}$ 是代数，$\mu _{0}$ 是 $\mathfrak{A}$ 上的预测度，$\mu^{$}μ∗ 是由 $\mu _{0}$ 诱导的外测度，$\mathcal{M}$ 是全体 $\mu^{$}-可测集。

① $\mu^{*}|_\mathfrak{A} \le \mu _{0}$。 取 $A \in \mathfrak{A}$，则 $A \subseteq A$ 是一个（只含一层的）覆盖，故

② $\mu^{*}|_\mathfrak{A} \ge \mu _{0}$。 设 $\{E_{j}\} \subseteq \mathfrak{A}$ 是 $A$ 的覆盖。令 $F_{j} = E_{j} \setminus (E_{1} \cup \cdots \cup E_\{j-1\})$，则 $F_{j} \in \mathfrak{A}$ 两两不交且 $\bigcup F_{j} \supseteq A$、$F_{j} \subseteq E_{j}$。于是

（第一个等号用 $A$ 是那些不交集合之并；第二个用 $\mu _{0}$ 可数可加；不等号用单调性。）对所有覆盖取下确界得 $\mu _{0}(A) \le \mu^{*}$(A)。

③ $\mathfrak{A} \subseteq \mathcal{M}$。 设 $A \in \mathfrak{A}$，$E \subseteq X$，要证 $\mu^{$}(E) \ge \mu^{}(E\cap A) + \mu^{*}(E\cap A^{c})。给定 $\varepsilon > 0$，取 $\mathfrak{A}$ 中 $\{E_{j}\}$ 覆盖 $E$ 使

由 ②，$\mu _{0}(E_{j}) = \mu^{*}(E_{j})$；又 $\mathfrak{A}$ 是代数，$E_{j} \cap A$ 与 $E_{j} \cap A^{c}$ 都在 $\mathfrak{A}$ 中且不交、并为 $E_{j}$，于是

令 $\varepsilon \to 0$ 即得。所以 $\mathfrak{A} \subseteq \mathcal{M}$；而 $\mathcal{M}$ 是 $\sigma$代数（Carathéodory），故 $\mathcal{M}(\mathfrak{A}) \subseteq \mathcal{M}$。∎