F 给出的预测度

说明

证明。 记 $\mathfrak{A}$ 为有限不交并 $\bigsqcup_{j=1}^{n}(a_{j}, b_{j}]$ 全体，$\mu_{0}\bigl(\bigsqcup_{j}(a_{j},b_{j}]\bigr) := \sum_{j}\bigl(F(b_{j})-F(a_{j})\bigr)$。

• 良定义：半开区间的不交并分解，本质上就是把端点排成一串 $a_{1} < b_{1} \le a_{2} < \cdots$；把两种分解细化到公共细分，用 $F$ 的值在端点上的 telescoping 求和即可看出 $\mu_{0}$ 与分解无关 ✓；空并给 $\mu_{0}(\emptyset) = 0$ ✓。
• 有限可加：把两个不交并拼起来直接相加 ✓。
• 可数可加（右连续在这里上场）：设 $(a, b] = \bigsqcup_{j \ge 1}(a_{j}, b_{j}]$。

$\ge$：对每个 $n$ 有 $(a,b] \supseteq \bigsqcup_{j \le n}(a_{j},b_{j}]$，由递增性 $F(b)-F(a) \ge \sum_{j \le n}\bigl(F(b_{j})-F(a_{j})\bigr)$，令 $n \to \infty$ ✓； $\le$：给 $\varepsilon > 0$。右连续给每个 $j$ 一个 $c_{j} > b_{j}$ 使 $F(c_{j}) < F(b_{j}) + \varepsilon 2^{-j}$；再用右连续取 $\delta > 0$ 使 $F(a+\delta) < F(a) + \varepsilon$。开区间族 $\{(a_{j}, c_{j})\}$ 覆盖紧集 $[a+\delta, b]$，抽有限子覆盖并按端点排序相加，得

令 $\varepsilon \to 0$ 即得 ✓。∎ ⭐ 取 $F(x) = x$ 就回到长度 $\mu_{0}((a,b]) = b-a$ —— 这正是 Lebesgue 测度的出发点。

右连续正是用来保证可数可加性的：若 (a, b] 是 $(a_{j}, b_{j}]$ 的不交并，把 $b_{j}$ 从左边逼近 $b_{j}$ 就能得到单调性的不等式。

取 $F(x) = x$ 就回到长度 $\mu _{0}((a, b]) = b - a$ —— 也就是 Lebesgue 测度的出发点。

⚠ 半开区间 (a, b] 比开区间好用：它们做不交并时端点不重叠，$\mu _{0}$ 的加法好验。用 [a, b) 也一样，只是右连续要换成左连续。