预测度

它指向谁（出边）

推出 2

• 本页 ⟹ 由预测度诱导外测度推出
  预测度 $\implies$ 诱导的外测度

  设 $\mathfrak{A}$ 是代数，$\mu _{0}$ 是 $\mathfrak{A}$ 上的预测度。对 $A \subseteq X$ 令

  $$\mu^*(A) = \inf \{ \sum_j \mu_0(E_j) : E_j \in \mathfrak{A}, A \subseteq \bigcup_j E_j \}$$

  ① 定义合理：$A \subseteq X$ 且 $X \in \mathfrak{A}$，所以总有覆盖，inf 是对非空集合取。

  ② $\mu^{$}(\emptyset ) = 0μ∗(∅)=0：取 $E_{1} = \emptyset$、$E_{2} = E_{3} = \cdots = \emptyset$，则 $\sum \mu _{0}(E_{j}) = 0$，故 $0 \le \mu^{$}(\emptyset ) \le 0。

  ③ 单调：$A \subseteq B$ 时，$B$ 的每个覆盖也是 $A$ 的覆盖，故 $A$ 的下确界集合更大，$\mu^{$}(A) \le \mu^{}(B)。

  ④ 可数次可加：设 $A_{j} \subseteq X$。若某个 $\mu^{*}(A_{j}) = \infty$ 则不等式平凡；否则给定 $\varepsilon > 0$，对每个 $j$ 取 $\mathfrak{A}$ 中的覆盖 $\{E_\{j,k\}\}_{k}$ 使

  $$\sum_k \mu_0(E_{j,k}) < \mu^*(A_j) + (\varepsilon/2)^j$$

  把 {E_{j,k}}_{j,k} 按 (j, k) 之外再用双射排成一列（可数个可数集之并仍可数），它是 $\bigcup _{j} A_{j}$ 的一个覆盖，于是

  $$\mu^*(\bigcup_j A_j) \le \sum_{j,k} \mu_0(E_{j,k}) \le \sum_j \mu^*(A_j) + \varepsilon$$

  令 $\varepsilon \to 0$ 即得。∎

  $>$ ⚠ ④ 的每一步都只需取一个覆盖 —— 这用的是 $\mathbb{N}$ 上的可数选择（可以从自然数的良序性显式给出），不需要完整的 AC。

• 本页 ⟹ 乘积测度推出
  矩形上的预测度 $\implies$ Carathéodory 扩张得到乘积测度

  ① $\mu_{0}$ 是良定义的。 设 $E$ 有两种矩形不交并的写法。把两边的矩形再交叉细分成最小的那些块（$A_j \cap A_k'$ $\times$ $B_j \cap B_k'$），$\mu_{0}$ 的值不变 —— 因为 $\mu$、$\nu$ 在各自那一侧都是有限可加的。

  ② $\mu_{0}$ 是 $\mathcal{A}$ 上的预测度。 $\mathcal{A} =$ 矩形的有限不交并，是代数（矩形的不交并再取差仍是有限个矩形块）。可数可加性由 $\mu$、$\nu$ 各自的可数可加性得到：把可数个不交的矩形块按两个方向分别整理成不交并。

  ③ 用 Carathéodory 扩张。 由「预测度 $\to$ 外测度 $\to$ 可测集 $\to$ 扩张测度」那一整套：$\mu_{0}$ 诱导出 $X \times Y$ 上的外测度 $\mu^{$}μ∗，全体 $\mu^{$}-可测集构成 $\sigma$代数，$\mu^{$}μ∗ 在其上成为测度；而代数 $\mathcal{A}$ 中每个集合都是 $\mu^{$}-可测的，且 $\mu^{*}|_\mathcal{A} = \mu_{0}$。

  ④ 落到 $\mathcal{M} \otimes \mathcal{N}$ 上。 $\mathcal{A}$ 含所有矩形，故 $\mathcal{A}$ 生成 $\mathcal{M} \otimes \mathcal{N} \subseteq (\mu^{$}M⊗N⊆(μ∗-可测集)；把 $\mu^{$} 限制在 $\mathcal{M} \otimes \mathcal{N}$ 上，就是所要的测度 $\mu \times \nu$，它在矩形上取值 $\mu \times \nu(A \times B) = \mu(A) \nu(B)$。∎

  $>$ ⭐ 这一段没有任何新东西 —— 全是把「测度的构造」那个星团的机器搬过来用一次。这也正是那个星团存在的理由：它是所有具体测度的生产线。

定义引用 3

• 由预测度诱导外测度 用到 本页定义引用

  诱导外测度的公式里用的就是预测度。

• 乘积测度 用到 本页定义引用

  矩形上的 $\mu_{0}$ 就是一个预测度。

• F 给出的预测度 用到 本页定义引用

  命题的结论就是「$\mu_0$ 是 $\mathfrak{A}$ 上的一个预测度」。

谁指向它（入边）

定义引用 2

• 环与代数 → 本页定义引用

  预测度的定义域只是一个环，不必是 $\sigma$ 代数。

• 测度 → 本页定义引用

  「仍满足测度的两条」——预测度就是把测度的定义域从 $\sigma$ 代数放宽到环。