Carathéodory 定理

它指向谁（出边）

推出 2

• 本页 ⟹ 预测度还原推出
  Carathéodory + 预测度 $\implies$ 原代数上的值不变

  设 $\mathfrak{A}$ 是代数，$\mu _{0}$ 是 $\mathfrak{A}$ 上的预测度，$\mu^{$}μ∗ 是由 $\mu _{0}$ 诱导的外测度，$\mathcal{M}$ 是全体 $\mu^{$}-可测集。

  ① $\mu^{*}|_\mathfrak{A} \le \mu _{0}$。 取 $A \in \mathfrak{A}$，则 $A \subseteq A$ 是一个（只含一层的）覆盖，故

  $$\mu^*(A) \le \mu_0(A) + 0 + 0 + \cdots = \mu_0(A)$$

  ② $\mu^{*}|_\mathfrak{A} \ge \mu _{0}$。 设 $\{E_{j}\} \subseteq \mathfrak{A}$ 是 $A$ 的覆盖。令 $F_{j} = E_{j} \setminus (E_{1} \cup \cdots \cup E_\{j-1\})$，则 $F_{j} \in \mathfrak{A}$ 两两不交且 $\bigcup F_{j} \supseteq A$、$F_{j} \subseteq E_{j}$。于是

  $$\mu_0(A) = \mu_0( \bigcup_j (A \cap F_j) ) = \sum_j \mu_0(A \cap F_j) \le \sum_j \mu_0(F_j) \le \sum_j \mu_0(E_j)$$

  （第一个等号用 $A$ 是那些不交集合之并；第二个用 $\mu _{0}$ 可数可加；不等号用单调性。）对所有覆盖取下确界得 $\mu _{0}(A) \le \mu^{*}$(A)。

  ③ $\mathfrak{A} \subseteq \mathcal{M}$。 设 $A \in \mathfrak{A}$，$E \subseteq X$，要证 $\mu^{$}(E) \ge \mu^{}(E\cap A) + \mu^{*}(E\cap A^{c})。给定 $\varepsilon > 0$，取 $\mathfrak{A}$ 中 $\{E_{j}\}$ 覆盖 $E$ 使

  $$\sum_j \mu_0(E_j) < \mu^*(E) + \varepsilon$$

  由 ②，$\mu _{0}(E_{j}) = \mu^{*}(E_{j})$；又 $\mathfrak{A}$ 是代数，$E_{j} \cap A$ 与 $E_{j} \cap A^{c}$ 都在 $\mathfrak{A}$ 中且不交、并为 $E_{j}$，于是

  $$\mu^*(E \cap A) + \mu^*(E \cap A^c) \le \sum_j \mu_0(E_j \cap A) + \sum_j \mu_0(E_j \cap A^c) = \sum_j \mu_0(E_j) < \mu^*(E) + \varepsilon$$

  令 $\varepsilon \to 0$ 即得。所以 $\mathfrak{A} \subseteq \mathcal{M}$；而 $\mathcal{M}$ 是 $\sigma$代数（Carathéodory），故 $\mathcal{M}(\mathfrak{A}) \subseteq \mathcal{M}$。∎

• 本页 ⟹ 乘积测度推出
  矩形上的预测度 $\implies$ Carathéodory 扩张得到乘积测度

  ① $\mu_{0}$ 是良定义的。 设 $E$ 有两种矩形不交并的写法。把两边的矩形再交叉细分成最小的那些块（$A_j \cap A_k'$ $\times$ $B_j \cap B_k'$），$\mu_{0}$ 的值不变 —— 因为 $\mu$、$\nu$ 在各自那一侧都是有限可加的。

  ② $\mu_{0}$ 是 $\mathcal{A}$ 上的预测度。 $\mathcal{A} =$ 矩形的有限不交并，是代数（矩形的不交并再取差仍是有限个矩形块）。可数可加性由 $\mu$、$\nu$ 各自的可数可加性得到：把可数个不交的矩形块按两个方向分别整理成不交并。

  ③ 用 Carathéodory 扩张。 由「预测度 $\to$ 外测度 $\to$ 可测集 $\to$ 扩张测度」那一整套：$\mu_{0}$ 诱导出 $X \times Y$ 上的外测度 $\mu^{$}μ∗，全体 $\mu^{$}-可测集构成 $\sigma$代数，$\mu^{$}μ∗ 在其上成为测度；而代数 $\mathcal{A}$ 中每个集合都是 $\mu^{$}-可测的，且 $\mu^{*}|_\mathcal{A} = \mu_{0}$。

  ④ 落到 $\mathcal{M} \otimes \mathcal{N}$ 上。 $\mathcal{A}$ 含所有矩形，故 $\mathcal{A}$ 生成 $\mathcal{M} \otimes \mathcal{N} \subseteq (\mu^{$}M⊗N⊆(μ∗-可测集)；把 $\mu^{$} 限制在 $\mathcal{M} \otimes \mathcal{N}$ 上，就是所要的测度 $\mu \times \nu$，它在矩形上取值 $\mu \times \nu(A \times B) = \mu(A) \nu(B)$。∎

  $>$ ⭐ 这一段没有任何新东西 —— 全是把「测度的构造」那个星团的机器搬过来用一次。这也正是那个星团存在的理由：它是所有具体测度的生产线。

谁指向它（入边）

推出 1

• 外测度、μ*-可测集 ⟹ 本页推出
  外测度 + 可切集 $\implies$ σ-代数与完备测度

  设 $\mu^{$}μ∗ 是外测度，$\mathcal{M} = \{ A : \forall E, \mu^{$}(E) = \mu^{}(E\cap A) + \mu^{}(E\cap A^{c}) \}。

  ① $\mathcal{M}$ 是代数。 条件关于 $A$ 与 $A^{c}$ 对称，故 $A \in \mathcal{M} \implies A^{c} \in \mathcal{M}$；$\emptyset$ 与 $X$ 显然在 $\mathcal{M}$ 中。若 $A, B \in \mathcal{M}$，要证 $A \cup B \in \mathcal{M}$：对任意 $E$，把 $E$ 依 $A$ 切开、再依 $B$ 切开，

  $$\mu^*(E) = \mu^*(E\cap A) + \mu^*(E\cap A^c) = \mu^*(E\cap A\cap B) + \mu^*(E\cap A\cap B^c) + \mu^*(E\cap A^c\cap B) + \mu^*(E\cap A^c\cap B^c)$$

  而右边前三项合起来 $\ge \mu^{$}(E\cap (A\cup B))≥μ∗(E∩(A∪B))（次可加），最后一项 $= \mu^{$}(E\cap (A\cup B)^{c})。反向不等式由次可加自动成立，故 $A \cup B \in \mathcal{M}$。

  ② $\mathcal{M}$ 是 $\sigma$代数。 设 $A_{j} \in \mathcal{M}$ 两两不交，$A = \bigcup A_{j}$。对任意 $E$ 归纳得到

  $$\mu^*(E \cap \bigcup_{j\le n} A_j) = \sum_{j\le n} \mu^*(E \cap A_j)$$

  （每一步用 $A_{n}$ 把 $E$ 切开，丢掉的那块弃掉即可。）令 $n \to \infty$，用次可加性与单调性，

  $$\mu^*(E) = \mu^*(E\cap A) + \mu^*(E\cap A^c)$$

  故 $A \in \mathcal{M}$。结合 ①，$\mathcal{M}$ 是可数并封闭的代数，即 $\sigma$代数（可数不交并由 ②，一般可数并再换成不交并）。

  ③ $\mu^{$}|_\mathcal{M}μ∗∣M​ 可加。 在 ② 里取 $E = X$、$A$ 换成两两不交的 $A_{j}$，得 $\mu^{$}(\bigcup A_{j}) = \sum \mu^{}(A_{j})，这正是可数可加；$\mu^{$}(\emptyset ) = 0 由外测度定义给出。

  ④ 完备。 设 $\mu^{*}(A) = 0$，$B \subseteq A$。对任意 $E$，由单调性与次可加，

  $$\mu^*(E) \ge \mu^*(E \cap B^c) \ge \mu^*(E) - \mu^*(E \cap B) \ge \mu^*(E) - \mu^*(A) = \mu^*(E)$$

  故 $\mu^{$}(E) = \mu^{}(E\cap B) + \mu^{}(E\cap B^{c})μ∗(E)=μ∗(E∩B)+μ∗(E∩Bc)（注意 $\mu^{$}(E\cap B) \le \mu^{}(A) = 0），即 $B \in \mathcal{M}$。故 $\mu^{$}|_\mathcal{M} 完备。∎

  $>$ 这一条是纯验证，但要验的东西不少，上面把要点写全了。

定义引用 2

• 外测度 → 本页定义引用

  Carathéodory 定理的起点是外测度。

• μ*-可测集 → 本页定义引用

  定理里的 $\mathcal{M}$ 就是 $\mu^{*}$-可测集全体。