由预测度诱导外测度

它指向谁（出边）

推出 1

• 本页 ⟹ 预测度还原推出
  Carathéodory + 预测度 $\implies$ 原代数上的值不变

  设 $\mathfrak{A}$ 是代数，$\mu _{0}$ 是 $\mathfrak{A}$ 上的预测度，$\mu^{$}μ∗ 是由 $\mu _{0}$ 诱导的外测度，$\mathcal{M}$ 是全体 $\mu^{$}-可测集。

  ① $\mu^{*}|_\mathfrak{A} \le \mu _{0}$。 取 $A \in \mathfrak{A}$，则 $A \subseteq A$ 是一个（只含一层的）覆盖，故

  $$\mu^*(A) \le \mu_0(A) + 0 + 0 + \cdots = \mu_0(A)$$

  ② $\mu^{*}|_\mathfrak{A} \ge \mu _{0}$。 设 $\{E_{j}\} \subseteq \mathfrak{A}$ 是 $A$ 的覆盖。令 $F_{j} = E_{j} \setminus (E_{1} \cup \cdots \cup E_\{j-1\})$，则 $F_{j} \in \mathfrak{A}$ 两两不交且 $\bigcup F_{j} \supseteq A$、$F_{j} \subseteq E_{j}$。于是

  $$\mu_0(A) = \mu_0( \bigcup_j (A \cap F_j) ) = \sum_j \mu_0(A \cap F_j) \le \sum_j \mu_0(F_j) \le \sum_j \mu_0(E_j)$$

  （第一个等号用 $A$ 是那些不交集合之并；第二个用 $\mu _{0}$ 可数可加；不等号用单调性。）对所有覆盖取下确界得 $\mu _{0}(A) \le \mu^{*}$(A)。

  ③ $\mathfrak{A} \subseteq \mathcal{M}$。 设 $A \in \mathfrak{A}$，$E \subseteq X$，要证 $\mu^{$}(E) \ge \mu^{}(E\cap A) + \mu^{*}(E\cap A^{c})。给定 $\varepsilon > 0$，取 $\mathfrak{A}$ 中 $\{E_{j}\}$ 覆盖 $E$ 使

  $$\sum_j \mu_0(E_j) < \mu^*(E) + \varepsilon$$

  由 ②，$\mu _{0}(E_{j}) = \mu^{*}(E_{j})$；又 $\mathfrak{A}$ 是代数，$E_{j} \cap A$ 与 $E_{j} \cap A^{c}$ 都在 $\mathfrak{A}$ 中且不交、并为 $E_{j}$，于是

  $$\mu^*(E \cap A) + \mu^*(E \cap A^c) \le \sum_j \mu_0(E_j \cap A) + \sum_j \mu_0(E_j \cap A^c) = \sum_j \mu_0(E_j) < \mu^*(E) + \varepsilon$$

  令 $\varepsilon \to 0$ 即得。所以 $\mathfrak{A} \subseteq \mathcal{M}$；而 $\mathcal{M}$ 是 $\sigma$代数（Carathéodory），故 $\mathcal{M}(\mathfrak{A}) \subseteq \mathcal{M}$。∎

谁指向它（入边）

推出 1

• 预测度 ⟹ 本页推出
  预测度 $\implies$ 诱导的外测度

  设 $\mathfrak{A}$ 是代数，$\mu _{0}$ 是 $\mathfrak{A}$ 上的预测度。对 $A \subseteq X$ 令

  $$\mu^*(A) = \inf \{ \sum_j \mu_0(E_j) : E_j \in \mathfrak{A}, A \subseteq \bigcup_j E_j \}$$

  ① 定义合理：$A \subseteq X$ 且 $X \in \mathfrak{A}$，所以总有覆盖，inf 是对非空集合取。

  ② $\mu^{$}(\emptyset ) = 0μ∗(∅)=0：取 $E_{1} = \emptyset$、$E_{2} = E_{3} = \cdots = \emptyset$，则 $\sum \mu _{0}(E_{j}) = 0$，故 $0 \le \mu^{$}(\emptyset ) \le 0。

  ③ 单调：$A \subseteq B$ 时，$B$ 的每个覆盖也是 $A$ 的覆盖，故 $A$ 的下确界集合更大，$\mu^{$}(A) \le \mu^{}(B)。

  ④ 可数次可加：设 $A_{j} \subseteq X$。若某个 $\mu^{*}(A_{j}) = \infty$ 则不等式平凡；否则给定 $\varepsilon > 0$，对每个 $j$ 取 $\mathfrak{A}$ 中的覆盖 $\{E_\{j,k\}\}_{k}$ 使

  $$\sum_k \mu_0(E_{j,k}) < \mu^*(A_j) + (\varepsilon/2)^j$$

  把 {E_{j,k}}_{j,k} 按 (j, k) 之外再用双射排成一列（可数个可数集之并仍可数），它是 $\bigcup _{j} A_{j}$ 的一个覆盖，于是

  $$\mu^*(\bigcup_j A_j) \le \sum_{j,k} \mu_0(E_{j,k}) \le \sum_j \mu^*(A_j) + \varepsilon$$

  令 $\varepsilon \to 0$ 即得。∎

  $>$ ⚠ ④ 的每一步都只需取一个覆盖 —— 这用的是 $\mathbb{N}$ 上的可数选择（可以从自然数的良序性显式给出），不需要完整的 AC。

定义引用 1

• 预测度 → 本页定义引用

  诱导外测度的公式里用的就是预测度。