Lebesgue–Stieltjes 测度

Lebesgue–Stieltjes 测度（Lebesgue–Stieltjes Measure $\mu_F$ ）

def.lebesgue-stieltjes · 定义 · Lebesgue–Stieltjes · Lebesgue 测度

又称Lebesgue–Stieltjes·L-S 测度·勒贝格-斯蒂尔杰斯

陈述

由递增右连续函数 $F$ 按上一条定理得到的 Borel 测度 $\mu_F$ 称为 $F$ 的 Lebesgue–Stieltjes 测度。

特别地，取 $F(x) = x$ ，得到的 $\mu _F$ 就是 $\mathbb{R}$ 上的 Lebesgue 测度 $m$ ：

m( (a, b] ) = b - a

若改用左连续的 $F$ 配区间 [a, b)，得到的是同一族测度 —— 只是把「右连续」换成了「左连续」。

$\mu _F$ 的分布函数视角：若 $F$ 还满足 $F(-\infty ) = 0$ 、 $F(+\infty ) = 1$ ，那 $F$ 就是一个概率分布的分布函数， $\mu _F$ 就是对应的概率测度。

这条把「测度」和「函数」这两类对象接了起来： $\mathbb{R}$ 上（局部有限的）测度 $\leftrightarrow$ 递增右连续函数（模常数）。后面 Radon–Nikodym 会把「绝对连续」精确地实现为「 $F$ 是可积函数的积分」。

测度 → 本页定义引用

Lebesgue–Stieltjes 测度是一种 Borel 测度。
Borel σ-代数 → 本页定义引用

$\mu_F$ 是 $\mathbb{R}$ 上的 Borel 测度：定义域是 $\mathfrak{B}_\mathbb{R}$ 。