Borel σ-代数

Borel σ-代数（Borel σ-Algebra $\mathfrak{B}_X$ ）

def.borel · 定义 · Borel · 拓扑

又称Borel·Borel 集·Borel σ代数

陈述

设 $X$ 是拓扑空间。 $X$ 上的 $Borel \sigma$ 代数是由全体开集生成的 $\sigma$ 代数：

\mathfrak{B}_X := \mathcal{M}(\{ U \subseteq X : U\text{ 是开集} \})

$\mathfrak{B}_X$ 中的集合称为 Borel 集：开集、闭集、可数个开集之交（ $G_\delta$ ）、可数个闭集之并（ $F_\sigma$ ）等都属于 $\mathfrak{B}_X$ 。

开集族本身一般只是拓扑，不是 $\sigma$ 代数 —— 取它生成的 $\sigma$ 代数才得到 Borel 集全体。

$\mathbb{R}$ 上 $\mathfrak{B}_\mathbb{R}$ 也可以由半开区间 $\{ (a, b] : a < b \}$ 生成（或 { [a, b) }）。这些形式在构造测度时更好用，因为半开区间的「不交并」算起来干净。

可数积的 Borel 代数用到本页定义引用

推论里右边是 $Borel \sigma$ 代数。
F ↔ Borel 测度用到本页定义引用

定理的结论是「Borel 测度」。
Lebesgue 可测用到本页定义引用

Borel 可测用的是 $\mathfrak{B}_\mathbb{R}$ 与 $\mathfrak{B}_\mathbb{C}$ 。
Lebesgue–Stieltjes 测度用到本页定义引用

$\mu_F$ 是 $\mathbb{R}$ 上的 Borel 测度：定义域是 $\mathfrak{B}_\mathbb{R}$ 。
正则 Borel 测度用到本页定义引用

正则性是关于 Borel 测度说的：外正则就是用开集去逼近 Borel 集。
可缩族用到本页定义引用

要求 $\{ E_r \}$ 是一族 Borel 子集，这样 $m(E_r)$ 才有意义。
NBV 用到本页定义引用

加这两个条件的目的，是与 $\mathbb{R}$ 上的复 Borel 测度一一对应。