NBV

NBV：右连续且 $F(-\infty) = 0$ 的有界变差函数

定义
依赖深度 layer 17
分析学
有界变差与绝对连续

def.nbv · 定义 · NBV

又称NBV·规范有界变差

陈述

NBV := \{ F \in BV : F\text{ 右连续},\text{ 且} F(-\infty) = 0 \}

说明

为什么要加这两个条件：因为下一条定理要建立 $\mathbb{R}$ 上的复 Borel 测度 $\leftrightarrow NBV$ 的一一对应，而对应式是

F(x) = \mu((-\infty, x])

右边那个函数自动右连续、且在 $-\infty$ 处为 0。把左边限制成 NBV，对应才是双射而不是满射。

它指向谁（出边）

定义引用 3

全变差的 NBV 性质用到本页定义引用

引理要为 NBV 服务（T_F 也要落在 NBV 里）。
积出来的函数是 AC · NBV 用到本页定义引用

推论同时落在 NBV 与 AC 的交里。
NBV 函数的导数与测度的关系用到本页定义引用

前提就是 $F \in NBV$ 。

谁指向它（入边）

定义引用 2

有界变差 BV → 本页定义引用

$NBV := \{ F \in BV : F$ 右连续且 $F(-\infty) = 0 \}$ ，整个定义建立在有界变差之上。
Borel σ-代数 → 本页定义引用

加这两个条件的目的，是与 $\mathbb{R}$ 上的复 Borel 测度一一对应。

参考

Folland, Real Analysis, Theorem 3.29

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