单调函数几乎处处可导

说明

(a)：每个不连续点 $x$ 对应一个「跳跃区间」$(F(x-), F(x+))$，这些区间两两不交；每个区间里取一个有理数，得到一个到 $\mathbb{Q}$ 的单射。故不连续点至多可数。

(b) 的路线很漂亮：$G$ 右连续递增，于是它诱导一个正则 Borel 测度 $\mu _G$。对 $h > 0$ 有

于是差商恰好是 $\mu_G(E_h)/m(E_h)$ —— 其中 $E_h = (x, x+h]$ 是一个可缩族。由 RN 导数的点态公式（见「$\mathbb{R}^{n}$ 上的微分」），这个比值 a.e. 收敛到 $\mu _G$ 关于 $m$ 的 RN 导数，即 $G' \text{a.e.}$ 存在。

剩下的部分用一个「夹逼」把 $F' = G'$ 也拿下：令 $H = G - F \ge 0$（跳跃函数），它 a.e. 为 0；再令 $\bar{F}$ 为跳跃的累积函数，则 $\mu _{\bar{F}}$ 集中在可数集上，故 $\mu _{\bar{F}} \perp m$，于是 $\bar{F}' = 0 \text{a.e.}$。在 $\bar{F}' = 0$ 的点上用

夹逼即得 $H' = 0 \text{a.e.}$，故 $F' = G' \text{a.e.}$∎