BV 的例子与基本性质

说明

逐条验证。 记 $T_{F}(x) := \sup\bigl\{\sum_{j=1}^{n}|F(x_{j})-F(x_{j-1})| : -\infty < x_{0} < \cdots < x_{n} = x\bigr\}$。

1. 有界递增：任意划分的变差和 $\sum_{j}(F(x_{j})-F(x_{j-1})) = F(b)-F(a)$（telescoping，绝对值可以去掉），故 $T_{F}(x) = F(x)-F(-\infty)$ 有限 ✓。
2. $BV$ 是 $\mathbb{C}$-向量空间：逐点 $|(F+G)(x_{j})-(F+G)(x_{j-1})| \le |\Delta F| + |\Delta G|$，对划分取上确界得 $T_{F+G} \le T_{F}+T_{G} < \infty$ ✓；数乘同理 ✓。
3. 可微 + $F'$ 有界：$|F'| \le M$ 时由中值定理 $|F(x_{j})-F(x_{j-1})| \le M(x_{j}-x_{j-1})$，故 $T_{F}(b)-T_{F}(a) \le M(b-a) < \infty$ ✓。
4. $\sin x$：$|\sin'| \le 1$，套上 3 ✓。
5. $x\sin(1/x)$（$x \ne 0$，$F(0)=0$）：在紧区间上 $F$ 可微且 $F'$ 局部有界，同上得有限全变差 ✓。

分界线：$F(x) = \sin(1/x)$（$x \ne 0$，$F(0) = 0$）不属于 $BV$ —— 在 $0$ 附近振幅不衰减，取划分逼近 $0$ 时 $\sum|\Delta F|$ 像调和级数那样发散 ✓。∎ ⭐ 所以「振荡」本身不碍事，振幅衰减才是 $BV$ 与「无限振荡」的分界。

第 4、5 两个例子是「振荡型」的：函数本身有界、但导数在某个点附近爆掉或无限振荡。它们仍然有界变差 —— 说明BV 比「$C^{1}$」宽得多。

一个标准的反例（不属于 BV）：$F(x) = \sin(1/x)$（$x \ne 0$）、$F(0) = 0$ —— 它在 0 附近无限次振荡且振幅不衰减，全变差发散。

⭐ 记住这条分界线：振幅不衰减的振荡 $\implies$ 不是 BV。