T_F ± F 递增

引理：实值 BV 函数的 $T_F + F$ 与 $T_F - F$ 都递增

引理
依赖深度 layer 17
分析学
有界变差与绝对连续

lem.variation-monotone · 引理 · 全变差 · 递增

又称T_F ± F 递增

陈述

设 $F$ 是实值有界变差函数。则

T_F + F\quad \text{ 与}\quad T_F - F

都是递增函数。

说明

证明：设 $x < y$ ，任给 $\varepsilon > 0$ ，取分划 $x_0 < \cdots < x_n = x$ 使 $\sum|F(x_j) - F(x_{j-1})| \ge T_F(x) - \varepsilon$ ，再补上点 $y$ 与 $x$ 之间的比较：

T_F(y) \pm F(y) \ge \sum_j |F(x_j) - F(x_{j-1})| + (F(y) - F(x)) \pm F(x) \ge T_F(x) - \varepsilon \pm F(x)

由 $\varepsilon$ 任意即得 $T_F(y) \pm F(y) \ge T_F(x) \pm F(x)$ 。∎

⭐ 这条是下一条「BV 的 Jordan 分解」的全部技术内容：一旦知道 $T_F \pm F$ 递增，就能把 $F$ 写成一增一减。

它指向谁（出边）

推出 1

本页 ⟹ BV 的 Jordan 分解推出

$T_F \pm F$ 递增 $\implies BV$ 的 Jordan 分解

(b) 的 $(\Longleftarrow )$ 方向：若 $F = G - H$ （ $G$ 、 $H$ 有界递增），则对任意分划
$\sum|F(x_j) - F(x_{j-1})| \le \sum|G(x_j) - G(x_{j-1})| + \sum|H(x_j) - H(x_{j-1})| = (G(x) - G(-\infty)) + (H(x) - H(-\infty))$
（递增函数的相邻差非负，可以直接去绝对值。）于是 $T_F(x) \le (G+H)(x) - (G+H)(-\infty) < \infty$ ， $F \in BV$ 。
(b) 的 $(\implies )$ 方向：由引理， $T_F + F$ 与 $T_F - F$ 都递增；它们有界（因为 $F \in BV$ 且 $F$ 有界）。令
$G := (1/2)(T_F + F), \quad H := (1/2)(T_F - F)$
则 $G$ 、 $H$ 有界递增，且
$G - H = (1/2)(T_F + F) - (1/2)(T_F - F) = F$
∎
(a)：把实部虚部分开即可（ $|\operatorname{Re} F| \le |F|$ 、 $|F| \le |\operatorname{Re} F| + |\operatorname{Im} F|$ ，两边夹）。∎

⭐ 这叫「函数版的 Jordan 分解」，与符号测度的 $\nu = \nu ^{+} - \nu ^{-}$ 完全平行 —— 事实上两者通过「测度 $\leftrightarrow NBV$ 」的对应是同一件事。

谁指向它（入边）

定义引用 1

有界变差 BV → 本页定义引用

引理里的 T_F 就是全变差函数。

参考

Folland, Real Analysis, Theorem 3.27

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