有界变差 BVbounded variation

全变差与有界变差函数（Total Variation, BV）

def.bounded-variation · 定义 · 全变差 · BV

又称有界变差·bounded variation·BV·变差

陈述

设 F:R→CF : \mathbb{R} \to \mathbb{C}。定义它的全变差函数

TF(x):=sup⁡{∑j=1n∣F(xj)−F(xj−1)∣:n∈N,−∞<x0<⋯<xn=x}T_F(x) := \sup \{ \sum_{j=1}^{n} |F(x_j) - F(x_{j-1})| : n \in \mathbb{N}, -\infty < x_0 < \cdots < x_n = x \}

TFT_F 是递增的 R→[0,+∞]\mathbb{R} \to [0, +\infty]。若 TF(+∞)<+∞T_F(+\infty) < +\infty，称 FF 是有界变差的，这类函数全体记作 BV。

TF(b)−TF(a)T_F(b) - T_F(a) 称为 FF 在 [a,b][a, b] 上的全变差；[a,b][a,b] 上有界变差的函数全体记作 BV([a,b])BV([a, b])。

说明

直观：TF(x)T_F(x) 是「沿着图像从 −∞-\infty 走到 xx 所走过的总路程」。有界变差就是「走过的路有限」。

两个自然的映射：投射 BV→BV([a,b])BV \to BV([a,b])，f↦f∣[a,b]f \mapsto f|_{[a,b]}；嵌入 BV([a,b])→BVBV([a,b]) \to BV，f↦{f(x)(x∈[a,b]);f(b)(x>b);f(a)(x<a)}f \mapsto \{ f(x) (x \in [a,b]); f(b) (x > b); f(a) (x < a) \}。

⚠ 全变差用的是每一段的绝对差之和，所以振荡太厉害的（比如 xsin⁡(1/x)x \sin(1/x) 在 0 附近）就要仔细算 —— 见例子节点。

它指向谁（出边）

定义引用 7

谁指向它（入边）

定义引用 1

参考

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