Lebesgue 微分定理differentiation theorem

① 对每个复数 $c$ 用一次微分定理。 固定 $c \in \mathbb{C}$，把微分定理用在函数 $h(x) = |f(x) - c|$ 上（它是 $L^{1}_{l}oc$ 的）：存在零集 $E_c$，使对 $x \notin E_c$，

② 只取可数多个 $c$。 取 $\mathbb{C}$ 的一个可数稠密子集 $D$（比如 $\mathbb{Q} + i\mathbb{Q}$），令

可数多个零集之并仍是零集，故 $m(E) = 0$。

③ 在 $E$ 外验证。设 $x \notin E$，任给 $\varepsilon > 0$，取 $c \in D$ 使 $|f(x) - c| < \varepsilon$。则

右边第一项由 ①（$x \notin E_c$）在 $r \to 0$ 时趋于 $|f(x) - c|$，于是整个右端的极限 $\le$ $|f(x) - c| + \varepsilon < 2\varepsilon$。令 $\varepsilon \to 0$ 得极限为 0，即 $x \in L_f$。

故 $L_f^c \subseteq E$，从而 $m(L_f^c) = 0$。∎

① 先局部化。 由 $L^{1}_{l}oc$ 的定义与测度的可数可加性，只需对每个 $N \in \mathbb{N}$ 证明在球 $\{|x| \le N\}$ 上几乎处处成立；把 $f$ 换成 $f\cdot\chi_{B(N+1, 0)}$ 后即可设 $f \in L^1$。

② 用连续函数逼近。 给定 $\varepsilon > 0$，由「$L^{1}$ 里的逼近」，取连续函数 $g$ 使

③ 连续情形是白送的。 若 $g$ 连续，则对每一个 $x$ 都有 $A_r g(x) \to g(x)$（$r \to 0$）—— 因为 $g$ 在 $x$ 附近近似为常数。

④ 把差值压住。 对任意 $x$，

（第一项用 $|A_r(f-g)| \le A_r|f-g| \le H(f-g)$，第二项由 ③ 取 $r \to 0$）。

⑤ 估计坏集。 令

由 ④，$E_\alpha \subseteq F_{\alpha/2} \cup \{x : H(f-g)(x) > \alpha/2\}$，其中 $F_{\alpha/2} = \{|f - g| > \alpha/2\}$。于是

（第一项用 Markov 不等式，第二项用极大定理。）

⑥ 令 $\varepsilon \to 0$。 右边对任意 $\varepsilon > 0$ 成立，故 $m(E_\alpha) = 0$ 对一切 $\alpha > 0$ 成立。于是

而右边是可数个零集之并，仍是零集。∎