Lebesgue 集几乎处处

它指向谁（出边）

推出 1

• 本页 ⟹ 可缩族的微分定理推出
  Lebesgue 集 + 可缩条件 $\implies$ 一般族的微分定理

  设 $x \in L_f$，$\{E_r\}$ 可缩地趋于 $x$，即 $E_r \subseteq B(r,x)$ 且 $m(E_r) > \alpha\cdot m(B(r,x))$。

  ① 关键估计（一行）。 因为 $E_r \subseteq B(r,x)$，把积分域放大到球上只会变大；再用 $m(E_r) > \alpha m(B(r,x))$ 把分母换小：

  $$\frac{1}{m(E_r)} \int_{E_r} |f(y) - f(x)| dy \le \frac{1}{m(E_r)} \int_{B(r,x)} |f(y) - f(x)| dy \le (1/\alpha)\cdot m(B(r,x)) \int_{B(r,x)} |f(y) - f(x)| dy$$

  ② 收尾。 由 $x \in L_f$ 的定义，最右边当 $r \to 0$ 时趋于 0。故第一个极限为 0。

  ③ 第二个极限。 由

  $$| \frac{1}{m(E_r)} \int_{E_r} f - f(x) | \le \frac{1}{m(E_r)} \int_{E_r} |f(y) - f(x)| dy \to 0$$

  即得 $\frac{1}{m(E_r)} \int_{E_r} f dy \to f(x)$。∎

  全部难度都被「把 L_f 的定义写成 $\int|f(y) - f(x)|$」吸收掉了 —— 这也解释了为什么定义要那么写。

谁指向它（入边）

推出 1

• Lebesgue 微分定理 ⟹ 本页推出
  微分定理 + 可数稠密子集 $\implies$ Lebesgue 集几乎处处

  ① 对每个复数 $c$ 用一次微分定理。 固定 $c \in \mathbb{C}$，把微分定理用在函数 $h(x) = |f(x) - c|$ 上（它是 $L^{1}_{l}oc$ 的）：存在零集 $E_c$，使对 $x \notin E_c$，

  $$\lim_{r\to0} \frac{1}{m(B(r,x))} \int_{B(r,x)} |f(y) - c| dy = |f(x) - c|$$

  ② 只取可数多个 $c$。 取 $\mathbb{C}$ 的一个可数稠密子集 $D$（比如 $\mathbb{Q} + i\mathbb{Q}$），令

  $$E = \bigcup_{c \in D} E_c$$

  可数多个零集之并仍是零集，故 $m(E) = 0$。

  ③ 在 $E$ 外验证。设 $x \notin E$，任给 $\varepsilon > 0$，取 $c \in D$ 使 $|f(x) - c| < \varepsilon$。则

  $$\frac{1}{m(B(r,x))} \int_{B(r,x)} |f(y) - f(x)| dy \le \frac{1}{m(B(r,x))} \int_{B(r,x)} |f(y) - c| dy + |f(x) - c|$$

  右边第一项由 ①（$x \notin E_c$）在 $r \to 0$ 时趋于 $|f(x) - c|$，于是整个右端的极限 $\le$ $|f(x) - c| + \varepsilon < 2\varepsilon$。令 $\varepsilon \to 0$ 得极限为 0，即 $x \in L_f$。

  故 $L_f^c \subseteq E$，从而 $m(L_f^c) = 0$。∎

  ⭐ 「把不可数条件化归成可数」这一步是可数性论证的典型手笔，和 Borel–Cantelli 是同一种精神。

定义引用 1

• Lebesgue 集 → 本页定义引用

  定理说这个集合的补是零集。