可缩族shrinking

可缩地趋于 x（Shrinks Nicely）

定义
依赖深度 layer 15
分析学
微分定理

def.shrinks-nicely · 定义 · 可缩族

又称可缩族·shrinking·缩族

陈述

$\mathbb{R}^n$ 的一族 Borel 子集 $\{E_r\}_{r > 0}$ 叫可缩地趋于 $x$ ，当且仅当

$\cdot$ $E_r \subseteq B(r, x)$ 对每个 $r$ 成立； $\cdot$ 存在 $\alpha > 0$ ，使 $m(E_r) > \alpha\cdot m(B(r, x))$ 对一切 $r$ 成立。

说明

两个条件的含义：装得进去（ $E_r$ 在球里）、不能太瘪（体积至少是球的 $\alpha$ 倍）。

典型例子：取 $E_r = B(r, x)$ 本身（ $\alpha = 1$ ）；或取 $E_r$ 为球内某个固定形状（如立方体）按比例缩放。

反例： $E_r$ 取成球内一条细长的薄片 —— 体积比可以趋于 0，这样的族就不是「可缩地」趋于 $x$ 。

⭐ 引入这个概念是为了让微分定理不依赖球的形状：只要不瘪，结论照旧。

English draft

Translation of the statement above · machine-drafted, pending author review · the Chinese text is authoritative.

Abstract

A family $\{E_r\}_{r > 0}$ of Borel subsets of $\mathbb{R}^n$ shrinks nicely to $x$ when $E_r \subseteq B(r,x)$ for every $r$ and there is $\alpha > 0$ with $m(E_r) > \alpha \cdot m(B(r,x))$ for all $r$ . The two conditions say "fits inside the ball" and "is not too thin". Balls themselves qualify, as does any fixed shape rescaled inside them; a thin sliver does not. The notion exists so that differentiation theorems do not depend on the shape of the sets being shrunk.

它指向谁（出边）

推出 1

本页 ⟹ 可缩族的微分定理推出

Lebesgue 集 + 可缩条件 $\implies$ 一般族的微分定理

设 $x \in L_f$ ， $\{E_r\}$ 可缩地趋于 $x$ ，即 $E_r \subseteq B(r,x)$ 且 $m(E_r) > \alpha\cdot m(B(r,x))$ 。
① 关键估计（一行）。 因为 $E_r \subseteq B(r,x)$ ，把积分域放大到球上只会变大；再用 $m(E_r) > \alpha m(B(r,x))$ 把分母换小：
$\frac{1}{m(E_r)} \int_{E_r} |f(y) - f(x)| dy \le \frac{1}{m(E_r)} \int_{B(r,x)} |f(y) - f(x)| dy \le (1/\alpha)\cdot m(B(r,x)) \int_{B(r,x)} |f(y) - f(x)| dy$
② 收尾。 由 $x \in L_f$ 的定义，最右边当 $r \to 0$ 时趋于 0。故第一个极限为 0。
③ 第二个极限。 由
$| \frac{1}{m(E_r)} \int_{E_r} f - f(x) | \le \frac{1}{m(E_r)} \int_{E_r} |f(y) - f(x)| dy \to 0$
即得 $\frac{1}{m(E_r)} \int_{E_r} f dy \to f(x)$ 。∎

全部难度都被「把 L_f 的定义写成 $\int|f(y) - f(x)|$ 」吸收掉了 —— 这也解释了为什么定义要那么写。

定义引用 1

可缩族的微分定理用到本页定义引用

定理对一切可缩族成立。

谁指向它（入边）

定义引用 4

Borel σ-代数 → 本页定义引用

要求 $\{ E_r \}$ 是一族 Borel 子集，这样 $m(E_r)$ 才有意义。
子集 → 本页定义引用

第一条是 $E_r \subseteq B(r, x)$ ——一个子集关系。
距离空间 → 本页定义引用

「 $E_r \subseteq B(r, x)$ 」里的 $B(r, x)$ 是距离空间里的球。
测度 → 本页定义引用

「 $m(E_r) > \alpha \cdot m(B(r, x))$ 」里的 $m$ 是一个测度。

参考

Folland, Real Analysis, §3.4

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