平均算子 Aᵣaverage operator

平均算子（Averaging Operator $A_{r} f$ ）

定义
依赖深度 layer 21
分析学
微分定理

def.average-operator · 定义 · 平均算子

又称平均算子·average operator

陈述

设 $f \in L^1_{loc}$ ， $x \in \mathbb{R}^n$ ， $r > 0$ 。定义

A_r f(x) := \frac{1}{m(B(r, x))} \int_{B(r, x)} f(y) dy

即 $f$ 在以 $x$ 为心、 $r$ 为半径的球上的平均值。

说明

这是「把函数抹平」的算子： $A_r f$ 是 $f$ 的连续化版本（见下一条）， $r \to 0$ 时应当回到 $f$ 本身 —— 而那正是 Lebesgue 微分定理要说的事。

⚠ 注意积分是对 Lebesgue 测度 $m$ 取的，跟这一段的符号测度 $\nu$ 无关。

它指向谁（出边）

定义引用 3

极大函数用到本页定义引用

极大函数就是对 $A_{r}|f|$ 取上确界。
平均算子联合连续用到本页定义引用

引理说的就是平均算子 $A_r f(x)$ 关于 $(r, x)$ 的连续性。
Lebesgue 集用到本页定义引用

定义里的那个平均 $\frac{1}{m(B)}\int_B |f(y) - f(x)| dy$ 就是平均算子的样子。

谁指向它（入边）

定义引用 2

局部可积 → 本页定义引用

平均算子只在 $L^{1}_{l}oc$ 上定义。
测度 → 本页定义引用

平均值里的 $m(B(r, x))$ 是 Lebesgue 测度。

参考

Folland, Real Analysis, §3.4

常见问法 1 条

Lebesgue 微分定理说的是什么也看 Lebesgue 微分定理、Lebesgue 集

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