可缩族的微分定理

它指向谁（出边）

推出 1

• 本页 ⟹ RN 导数的点态公式推出
  微分定理 + 正则性 $\implies RN$ 导数的点态公式

  设 $d\nu = d\lambda + f\cdot dm$（$\lambda \perp m$），$\nu$ 正则。

  ① 先算全变差。 由全变差的性质，$d|\nu| = d|\lambda| + |f|\cdot dm$。既然 $\nu$ 正则，$|\nu |$ 正则，于是 $\lambda$ 与 $f\cdot dm$ 都正则；由「$g\cdot dm$ 正则 $\iff$ $g \in L^1_{loc}$」得 $f \in L^1_{loc}$。

  ② 拆比值。

  $$\nu(E_r) / m(E_r) = \lambda(E_r) / m(E_r) + \frac{1}{m(E_r)} \int_{E_r} f\cdot dm$$

  第二项由可缩族的微分定理趋于 $f(x)$（对 m-a.e. x）。所以只需证第一项趋于 0。

  ③ 把 $\lambda$ 的坏点收集起来。 不妨设 $\lambda \ge 0$，并取 $A$ 使 $\lambda(A) = m(A^c) = 0$（$\lambda \perp m$ 的见证）。令

  $$F_k = \{ x \in A : \limsup_{r\to0} \lambda(B(r, x)) / m(B(r, x)) > 1 / k \}$$

  ④ 用正则性把 $\lambda$ 压小。 给定 $\varepsilon > 0$，由 $\lambda$ 的正则性（从外面用开集逼近）取开集 $U \supseteq A$ 使 $\lambda(U) < \varepsilon$（注意 $\lambda(A) = 0$，但 $U$ 比 $A$ 大，多出来的部分也可以做得任意小）。

  ⑤ 每个坏点配一个小球。 对 $x \in F_k$，由 $F_k$ 的定义与 $B_x \subseteq U$（在 $A$ 附近取足够小的球即可），存在球 $B_x$ 使

  $$\lambda(B_x) > (1/k)\cdot m(B_x)$$

  ⑥ 覆盖引理再来一次。 令 $V_\varepsilon = \bigcup_{x \in F_k} B_x$（它是 $U$ 中的开集，故 $\lambda(V_\varepsilon) \le \lambda(U) < \varepsilon$）。取 $c < m(V_\varepsilon)$，由覆盖引理挑出不交的 $B_{x_1}, \ldots , B_{x_j}$ 使 $\sum m(B_{x_i}) > 3^{-n} c$。于是

  $$c < 3^n \sum_i m(B_{x_i}) \le 3^n k \sum_i \lambda(B_{x_i}) \le 3^n k\cdot\lambda(V_\varepsilon) \le 3^n k \varepsilon$$

  ⑦ 令 $\varepsilon \to 0$。 得 $m(V_\varepsilon) = 0$，故某个零集包含了一切 $F_k$，即 $F_k$ 全是零集，从而 $\lim_{r\to0} \lambda(B(r,x))/m(B(r,x)) = 0$ 对 m-a.e. x 成立。

  ⑧ 从球换到可缩族。 上面用的是球；要换成一般的可缩族 $E_r$，用

  $$\lambda(E_r) / m(E_r) \le \lambda(B(r,x)) / m(E_r) \le (1/\alpha)\cdot\lambda(B(r,x)) / m(B(r,x)) \to 0$$

  （第二个不等号用了 $m(E_r) > \alpha m(B(r,x))$，并且 $E_r \subseteq B(r,x)$ 使分子变大。）把 ⑦ 的结果搬过来即可。∎

  ⭐ 这条把 Radon–Nikodym 导数彻底「算得出来」了：它就是在小球上质量比的极限 —— 正是「密度 $=$ 质量/体积」的严格版本。

谁指向它（入边）

推出 1

• Lebesgue 集几乎处处、可缩族 ⟹ 本页推出
  Lebesgue 集 + 可缩条件 $\implies$ 一般族的微分定理

  设 $x \in L_f$，$\{E_r\}$ 可缩地趋于 $x$，即 $E_r \subseteq B(r,x)$ 且 $m(E_r) > \alpha\cdot m(B(r,x))$。

  ① 关键估计（一行）。 因为 $E_r \subseteq B(r,x)$，把积分域放大到球上只会变大；再用 $m(E_r) > \alpha m(B(r,x))$ 把分母换小：

  $$\frac{1}{m(E_r)} \int_{E_r} |f(y) - f(x)| dy \le \frac{1}{m(E_r)} \int_{B(r,x)} |f(y) - f(x)| dy \le (1/\alpha)\cdot m(B(r,x)) \int_{B(r,x)} |f(y) - f(x)| dy$$

  ② 收尾。 由 $x \in L_f$ 的定义，最右边当 $r \to 0$ 时趋于 0。故第一个极限为 0。

  ③ 第二个极限。 由

  $$| \frac{1}{m(E_r)} \int_{E_r} f - f(x) | \le \frac{1}{m(E_r)} \int_{E_r} |f(y) - f(x)| dy \to 0$$

  即得 $\frac{1}{m(E_r)} \int_{E_r} f dy \to f(x)$。∎

  全部难度都被「把 L_f 的定义写成 $\int|f(y) - f(x)|$」吸收掉了 —— 这也解释了为什么定义要那么写。

定义引用 2

• 可缩族 → 本页定义引用

  定理对一切可缩族成立。

• Lebesgue 集 → 本页定义引用

  结论只在 Lebesgue 点上成立。