Lebesgue 集Lebesgue point

Lebesgue 集 LfL_f

def.lebesgue-set · 定义 · Lebesgue 集

又称Lebesgue 集·Lebesgue point·勒贝格点

陈述

设 f∈Lloc1f \in L^1_{loc}。定义

Lf:={x:lim⁡r→01m(B(r,x))∫B(r,x)∣f(y)−f(x)∣dy=0}L_f := \{ x : \lim_{r\to0} \frac{1}{m(B(r, x))} \int_{B(r, x)} |f(y) - f(x)| dy = 0 \}

称为 ff 的 Lebesgue 集。

说明

⚠ 注意定义里积的是 ∣f(y)−f(x)∣|f(y) - f(x)|（与 ff 在该点的值比较），不是 ∣f(y)∣|f(y)|。

这么定义是为了让「可缩族」版本（下一条定理）能直接用 —— 那里需要的是局部一致逼近，而不是简单的平均值收敛。

x∈Lfx \in L_f 常被说成「xx 是 ff 的 Lebesgue 点」。直觉：在这个点附近，ff 的振荡在平均意义下趋于 0。

它指向谁（出边）

定义引用 2

谁指向它（入边）

定义引用 2

参考

常见问法 1 条

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