极大函数maximal function

它指向谁（出边）

推出 1

• 本页 ⟹ 极大定理推出
  覆盖引理 $\implies$ 极大定理

  ① 把坏集换成球族。 令 $E_\alpha = \{x : Hf(x) > \alpha\}$。对每个 $x \in E_\alpha$，由 Hf 的定义（上确界）存在 $r_x > 0$ 使

  $$A_{r_x}|f|(x) > \alpha\quad \iff\quad \int_{B(r_x, x)} |f(y)| dy > \alpha\cdot m(B(r_x, x))$$

  于是 $\{B(r_x, x)\}_{x \in E_\alpha}$ 是 $E_\alpha$ 的一个开球覆盖，且每个球都满足上面那个「超额」不等式。

  ② 用覆盖引理挑不交子族。 任取 $c < m(E_\alpha)$（先设 $m(E_\alpha ) < \infty$）。由覆盖引理，存在 $x_1, \ldots , x_k \in E_\alpha$ 使 $B_j = B(r_{x_j}, x_j)$ 两两不交，且

  $$\sum_j m(B_j) > 3^{-n} c$$

  ③ 把测度换成积分。 由 ① 里每个球的超额不等式，

  $$c < 3^n \sum_j m(B_j) < (3^n/\alpha)\cdot\sum_j \int_{B_j} |f| dy \le (3^n/\alpha)\cdot\int_{\mathbb{R}^n} |f| dy$$

  （最后一步用的是：$B_j$ 两两不交，所以把积分加起来不超过整体积分。）

  ④ 令 $c \to m(E_\alpha )$。 得到

  $$m(E_\alpha) \le (3^n/\alpha)\cdot\int |f| dy$$

  即 $C = 3^n$。∎

  ⭐ 整段只有一个「魔法」：覆盖引理保证挑出来的不交球虽然装不满 $E_\alpha$，但总测度至少是 $3^{-n}$ 倍 —— 恰好够用。

定义引用 1

• 极大定理 用到 本页定义引用

  极大定理估的就是 Hf 的分布函数。

类比 1

• 有限特征类比
  用一个「更粗但可控」的量，把无穷握在手里

  两处都在面对一个无法逐个处理的无穷对象，做法都是换一个更粗的量去控制它：

  • 极大函数：逐点值 $f(x)$ 没法控制（可以随便改零集上的取值），改成 $Hf(x) = \sup_r A_r |f|(x)$ ——

  它更大、更粗，但可测、有极大不等式，于是逐点问题化归为测度估计。

  • 有限特征：整体 $X \in \mathcal{A}$ 没法验证，改成「每个有限子集都行」——

  条件更粗，但可以用有限手段逐条查。

  共同的招：牺牲精度换可控性。粗的量先拿下，细的问题再还回去 （极大不等式 $\to$ Lebesgue 微分定理；有限特征 $\to$ Tukey 引理）。

  💡 卡在「无穷没法遍历」时，问：有没有一个更粗的、可测/可验证的量，能把这件事包住？

谁指向它（入边）

定义引用 2

• 平均算子 Aᵣ → 本页定义引用

  极大函数就是对 $A_{r}|f|$ 取上确界。

• 局部可积 → 本页定义引用

  极大函数的定义域是 $L^{1}_{l}oc$。