平均算子联合连续

引理： $A_{r} f(x)$ 关于 (r, x) 联合连续

引理
依赖深度 layer 22
分析学
微分定理

lem.average-continuous · 引理 · 连续 · DCT

又称平均算子连续

陈述

设 $f \in L^1_{loc}$ 。则 $A_r f(x)$ 作为 $(r, x)$ 的函数是联合连续的。

说明

证明的骨架：把积分写成

\int_{B(r, x)} f(y) dy = \int_{\mathbb{R}^n} \chi_{B(r, x)}(y) f(y) dy

于是只需证 $\chi_{B(r,x)} \to \chi_{B(r_0,x_0)}$ （当 $(r,x) \to (r_0,x_0)$ ）在足够好的意义上成立，再用 DCT。

分两块看（取目标点 $(r_0, x_0)$ ）：

$\cdot$ 若 $y$ 在球内： $\varepsilon := r_0 - |y - x_0| > 0$ ；当 $|x - x_0| < \varepsilon/2$ 且 $|r - r_0| < \varepsilon/2$ 时 $|y - x| < r$ ，故 $\chi = 1$ ；

$\cdot$ 若 $y$ 在球外： $\varepsilon := |y - x_0| - r_0 > 0$ ；同样的小扰动下 $|y - x| > r$ ，故 $\chi = 0$ 。

两边合起来说明：对几乎处处的 $y$ （只排除球面），特征函数最终稳定 —— 即逐点收敛 a.e.。

控制函数取 $\chi_{B(r_0+1, x_0)}(y)\cdot|f(y)| \in L^1$ ，由 DCT 得连续性。∎

它指向谁（出边）

推出 1

本页 ⟹ Lebesgue 微分定理推出

极大定理 + 连续函数逼近 $\implies$ Lebesgue 微分定理

① 先局部化。 由 $L^{1}_{l}oc$ 的定义与测度的可数可加性，只需对每个 $N \in \mathbb{N}$ 证明在球 $\{|x| \le N\}$ 上几乎处处成立；把 $f$ 换成 $f\cdot\chi_{B(N+1, 0)}$ 后即可设 $f \in L^1$ 。
② 用连续函数逼近。 给定 $\varepsilon > 0$ ，由「 $L^{1}$ 里的逼近」，取连续函数 $g$ 使
$\int |g(y) - f(y)| dy < \varepsilon$
③ 连续情形是白送的。 若 $g$ 连续，则对每一个 $x$ 都有 $A_r g(x) \to g(x)$ （ $r \to 0$ ）—— 因为 $g$ 在 $x$ 附近近似为常数。
④ 把差值压住。 对任意 $x$ ，
$\sup_{r>0} |A_r f(x) - f(x)| = \sup_r |A_r(f - g)(x) + (A_r g - g)(x) + (g - f)(x)| \le H(f - g)(x) + |f - g|(x)$
（第一项用 $|A_r(f-g)| \le A_r|f-g| \le H(f-g)$ ，第二项由 ③ 取 $r \to 0$ ）。
⑤ 估计坏集。 令
$E_\alpha = \{x : \sup_{r>0} |A_r f(x) - f(x)| > \alpha\}$
由 ④， $E_\alpha \subseteq F_{\alpha/2} \cup \{x : H(f-g)(x) > \alpha/2\}$ ，其中 $F_{\alpha/2} = \{|f - g| > \alpha/2\}$ 。于是
$m(E_\alpha) \le 2\varepsilon / \alpha + 2C\varepsilon / \alpha$
（第一项用 Markov 不等式，第二项用极大定理。）
⑥ 令 $\varepsilon \to 0$ 。 右边对任意 $\varepsilon > 0$ 成立，故 $m(E_\alpha) = 0$ 对一切 $\alpha > 0$ 成立。于是
$\lim_{r\to0} A_r f(x) = f(x)\quad \text{ 对一切} x \notin \bigcup_{m\in\mathbb{N}} E_{1/m}$
而右边是可数个零集之并，仍是零集。∎

⭐ 这是分析里最漂亮的标准套路之一：用「连续函数是稠密的」把问题搬到好情形，再用极大不等式把误差控制住。两边一夹，坏集测度为零。

谁指向它（入边）

定义引用 2

平均算子 Aᵣ → 本页定义引用

引理说的就是平均算子 $A_r f(x)$ 关于 $(r, x)$ 的连续性。
局部可积 → 本页定义引用

前提 $f \in L^1_{loc}$ ——平均算子只对局部可积函数定义。

参考

Folland, Real Analysis, Lemma 3.16

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