覆盖引理covering lemma

① 把坏集换成球族。 令 $E_\alpha = \{x : Hf(x) > \alpha\}$。对每个 $x \in E_\alpha$，由 Hf 的定义（上确界）存在 $r_x > 0$ 使

于是 $\{B(r_x, x)\}_{x \in E_\alpha}$ 是 $E_\alpha$ 的一个开球覆盖，且每个球都满足上面那个「超额」不等式。

② 用覆盖引理挑不交子族。 任取 $c < m(E_\alpha)$（先设 $m(E_\alpha ) < \infty$）。由覆盖引理，存在 $x_1, \ldots , x_k \in E_\alpha$ 使 $B_j = B(r_{x_j}, x_j)$ 两两不交，且

③ 把测度换成积分。 由 ① 里每个球的超额不等式，

（最后一步用的是：$B_j$ 两两不交，所以把积分加起来不超过整体积分。）

④ 令 $c \to m(E_\alpha )$。 得到

即 $C = 3^n$。∎

设 $d\nu = d\lambda + f\cdot dm$（$\lambda \perp m$），$\nu$ 正则。

① 先算全变差。 由全变差的性质，$d|\nu| = d|\lambda| + |f|\cdot dm$。既然 $\nu$ 正则，$|\nu |$ 正则，于是 $\lambda$ 与 $f\cdot dm$ 都正则；由「$g\cdot dm$ 正则 $\iff$ $g \in L^1_{loc}$」得 $f \in L^1_{loc}$。

② 拆比值。

第二项由可缩族的微分定理趋于 $f(x)$（对 m-a.e. x）。所以只需证第一项趋于 0。

③ 把 $\lambda$ 的坏点收集起来。 不妨设 $\lambda \ge 0$，并取 $A$ 使 $\lambda(A) = m(A^c) = 0$（$\lambda \perp m$ 的见证）。令

④ 用正则性把 $\lambda$ 压小。 给定 $\varepsilon > 0$，由 $\lambda$ 的正则性（从外面用开集逼近）取开集 $U \supseteq A$ 使 $\lambda(U) < \varepsilon$（注意 $\lambda(A) = 0$，但 $U$ 比 $A$ 大，多出来的部分也可以做得任意小）。

⑤ 每个坏点配一个小球。 对 $x \in F_k$，由 $F_k$ 的定义与 $B_x \subseteq U$（在 $A$ 附近取足够小的球即可），存在球 $B_x$ 使

⑥ 覆盖引理再来一次。 令 $V_\varepsilon = \bigcup_{x \in F_k} B_x$（它是 $U$ 中的开集，故 $\lambda(V_\varepsilon) \le \lambda(U) < \varepsilon$）。取 $c < m(V_\varepsilon)$，由覆盖引理挑出不交的 $B_{x_1}, \ldots , B_{x_j}$ 使 $\sum m(B_{x_i}) > 3^{-n} c$。于是

⑦ 令 $\varepsilon \to 0$。 得 $m(V_\varepsilon) = 0$，故某个零集包含了一切 $F_k$，即 $F_k$ 全是零集，从而 $\lim_{r\to0} \lambda(B(r,x))/m(B(r,x)) = 0$ 对 m-a.e. x 成立。

⑧ 从球换到可缩族。 上面用的是球；要换成一般的可缩族 $E_r$，用

（第二个不等号用了 $m(E_r) > \alpha m(B(r,x))$，并且 $E_r \subseteq B(r,x)$ 使分子变大。）把 ⑦ 的结果搬过来即可。∎