L¹(ν) 与全变差

说明

证明。 (a) 因为 $|\nu|(E) = 0 \implies \nu(E) = 0$（由 (a) 式 $|\nu(E)| \le |\nu|(E)$），所以 $\nu \ll |\nu|$，由 Radon–Nikodym 取 $g := \frac{d\nu}{d|\nu|}$ ✓。再把上面那条 $(b)$ 用在 $\mu := |\nu|$ 上：$d|\nu| = |g|\,\mathrm{d}|\nu|$，而有限测度对自己的导数恒为 $1$，故 $|g| = 1$ 于 $|\nu|$-a.e. ✓。 (b) 定义 $L^{1}(\nu) := L^{1}(|\nu|)$（右边是普通 $L^{1}$ 空间）。对 $f \in L^{1}(\nu)$，$\int f\,\mathrm{d}\nu = \int f g\,\mathrm{d}|\nu|$，于是

（中间用积分的绝对值不等式，最后一步用 $|g| = 1$）✓。 (c) 取公共基准 $\rho := |\nu_{1}| + |\nu_{2}|$，写 $d\nu_{k} = f_{k}\,\mathrm{d}\rho$（$|f_{k}| = \frac{d|\nu_{k}|}{d\rho}$）。由 (a)：

即全变差满足三角不等式，于是 $\nu \mapsto |\nu|(X)$ 是测度空间上的范数 ✓。∎

(a) 的来源：$d\nu = g\cdot d|\nu|$ 对某个 $g$ 成立（Radon–Nikodym），且 $|g| = 1 \text{a.e.}$ —— 因为全变差本来就是「把质量取绝对值」得到的。

(b) 说明积分理论对符号测度不需要重写：把 $|\nu |$ 当作底层的真测度，一切照旧。

(c) 让「全变差」成为一个范数，这正是把测度空间看作 Banach 空间的起点。