# L¹(ν) 与全变差　`prop.L1-signed`
命题：符号测度的 $L^{1}(\nu) = L^{1}(|\nu|)$，以及几条基本不等式
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设 $\nu$ 是符号测度或复测度。

**(a)** $\nu \ll  |\nu|$，并且

$$| d\nu / d|\nu| | = 1\quad  |\nu|-\text{a.e.}$$

**(b)** 定义 $L^1(\nu) := L^1(|\nu|)$。若 $f \in L^1(\nu)$，则

$$| \int f d\nu | \le \int |f| d|\nu|$$

**(c)** $|\nu_1 + \nu_2| \le |\nu_1| + |\nu_2|$（即全变差满足三角不等式）。

## 为什么成立（入边，证明在 proofs/）
- …另有入边，续页见 [nodes/prop.L1-signed.2.md](./prop.L1-signed.2.md)

refs: Folland, Real Analysis, §3.3

> 说明见 `notes/prop.L1-signed.md`

引用：`prop.L1-signed`（内容 v0.9.0）· 条款见 [LICENSE.txt](../LICENSE.txt)