RN 导数与 Lebesgue 分解Radon-Nikodym derivative

Radon–Nikodym 导数 $d\nu/d\mu$ 与 Lebesgue 分解

定义
依赖深度 layer 17
分析学
符号测度与分解

def.rn-derivative · 定义 · RN 导数 · Lebesgue 分解

又称Radon–Nikodym 导数·RN 导数·密度·Radon-Nikodym derivative

陈述

设 $\nu \ll \mu$ （都是 $\sigma$ 有限的）。取定理里的 $f$ ，称

f = \frac{d\nu}{d\mu}

为 $\nu$ 关于 $\mu$ 的 Radon–Nikodym 导数（注意它定义在「 $\mu$ 本质相同的函数类」上，不是单个函数）。

一般的分解 $\nu = \lambda + \rho$ （ $\lambda \perp \mu$ ， $\rho \ll \mu$ ）称为 $\nu$ 关于 $\mu$ 的 Lebesgue 分解。

说明

记号的用意： $d\nu = f d\mu$ 看起来就像两个「微分」的商。

⚠ 「 $\mu$ 本质相同」 $= \mu -\text{a.e.}$ 相等 —— 这是 RN 导数唯一的唯一性内容：它不是一个函数，而是一个等价类。

术语提醒：「Lebesgue 分解」这个名字在两个地方出现 —— 这里指的是 $\nu$ 拆成奇异部分 + 绝对连续部分。

它指向谁（出边）

定义引用 4

L¹(ν) 与全变差用到本页定义引用

$d\nu /d|\nu |$ 就是一个 RN 导数。
RN 导数的点态公式用到本页定义引用

结论就是：RN 导数等于比值极限。
互为绝对连续时导数互逆用到本页定义引用

两边的 $d\mu/d\lambda$ 与 $d\lambda/d\mu$ 都是 RN 导数。
NBV 函数的导数与测度的关系用到本页定义引用

$F(x) = \int_{-\infty}^{x} F'$ 等于说 $F'$ 就是那个 RN 导数 $d\mu_F/dm$ 。

谁指向它（入边）

定义引用 3

绝对连续 → 本页定义引用

RN 导数 $d\nu/d\mu$ 就是在 $\nu \ll \mu$ 的前提下取到的那个 $f$ 。
相互奇异 → 本页定义引用

Lebesgue 分解 $\nu = \lambda + \rho$ 里的奇异部分要求 $\lambda \perp \mu$ 。
测度 → 本页定义引用

定理要求 $\nu \ll \mu$ 且两者都 $\sigma$ 有限—— $\sigma$ 有限性是关于测度的。

参考

Folland, Real Analysis, §3.2

常见问法 2 条

一个测度相对于另一个测度的密度也看 Lebesgue–Radon–Nikodym 定理
什么时候一个测度有密度也看 Lebesgue–Radon–Nikodym 定理、绝对连续

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