全变差的基本性质total variation

说明

证明。 记 $|\nu|(E) := \sup\bigl\{\sum_{j}|\nu(E_{j})| : E = \bigsqcup_{j} E_{j} \text{ 可数划分} \bigr\}$。 (a) 对任意划分，由三角不等式

对一切划分取上确界得 $|\nu(E)| \le |\nu|(E)$ ✓。 (b) 设 $d\nu = f\,\mathrm{d}\mu$。

• 上界：对任意划分

取上确界得 $|\nu|(E) \le \int_{E}|f|\,\mathrm{d}\mu$ ✓；

• 下界：取只由 $E \cap \{f \ge 0\}$ 与 $E \cap \{f < 0\}$ 组成的划分，此时 $\sum_{j}|\nu(E_{j})| = \int_{E}|f|\,\mathrm{d}\mu$，故上确界 $\ge$ 它 ✓；

两边合起来：$|\nu|(E) = \int_{E}|f|\,\mathrm{d}\mu$，即 $d|\nu| = |f|\,\mathrm{d}\mu$ ✓。 不同表示的一致性：若同时有 $d\nu = f_{1}d\mu_{1} = f_{2}d\mu_{2}$，取公共基准 $\rho := |\nu| + \mu_{1} + \mu_{2}$，把两边都用链式法则换到 $\rho$ 上，再用上式的上确界论证即得 $|f_{1}|\frac{d\mu_{1}}{d\rho} = |f_{2}|\frac{d\mu_{2}}{d\rho}$ $\rho$-a.e. ✓。∎

(b) 的证法：先取 $\rho = |\nu_1| + |\nu_2|$ 把 $\nu$ 的两个不同表示拉到一个共同的「基准测度」上，再用 Radon–Nikodym 与链式法则把两个密度都换到 $\rho$ 上。于是要证的就是

从而 $|f_1| d\mu_1 = |f_2| d\mu_2$ —— 说明全变差的密度与「用哪个 $\mu$ 表示 $\nu$」无关。

由此也得到一个实用的直觉：全变差就是「把质量取绝对值之后再测一遍」。